幾何積分

在常微分方程的數值計算中，幾何積分是一種保留微分方程的流的精確幾何特性的數值方法。

以擺為例

可考慮單擺運動以引出幾何積分的研究。

設擺錘質量為${\displaystyle m=1}$，擺杆長度為${\displaystyle \ell =1}$。設重力加速度為${\displaystyle g=1}$。用${\displaystyle q(t)}$表示杆偏移垂直方向的角位移，並用${\displaystyle p(t)}$表示擺的動量，則系統的哈密頓量（動能與勢能之和）為

${\displaystyle H(q,p)=T(p)+U(q)={\frac {1}{2}}p^{2}-\cos q,}$

其給出哈密頓方程

${\displaystyle ({\dot {q}},{\dot {p}})=(\partial H/\partial p,-\partial H/\partial q)=(p,-\sin q).\,}$

很自然，可將所有${\displaystyle q}$的位形空間${\displaystyle Q}$看做單位圓${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$，這樣${\displaystyle (q,p)}$就位於圓柱體${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} }$上。取${\displaystyle (q,p)\in \mathbb {R} ^{2}}$只是因為${\displaystyle (q,p)}$空間會更方便繪製。定義${\displaystyle z(t)=(q(t),p(t))^{\mathrm {T} }}$、${\displaystyle f(z)=(p,-\sin q)^{\mathrm {T} }}$。讓我們用一些簡單的數值方法對這個系統進行積分。像往常一樣，選擇常數步長${\displaystyle h}$，對任意非負整數${\displaystyle k}$記${\displaystyle z_{k}:=z(kh)}$。 我們用以下方法：

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf(z_{k})\,}$（顯式歐拉）；

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf(z_{k+1})\,}$（隱式歐拉）；

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf(q_{k},p_{k+1})\,}$（辛歐拉）；

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf((z_{k+1}+z_{k})/2)\,}$（隱式中點法則）。

（注意，辛歐拉法用顯式歐拉法處理q，用隱式歐拉法處理${\displaystyle p}$。）

觀察到${\displaystyle H}$在哈密頓方程的解曲線上是常數，於是可以描述系統的精確軌跡，是${\displaystyle p^{2}/2-\cos q}$的水平曲線。在${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$中繪製了系統的精確軌跡和數值解。對顯式、隱式歐拉法，分別取${\displaystyle h=0.2}$；z₀ = (0.5, 0)及(1.5, 0)；對其他兩種方法，分別取${\displaystyle h=0.3}$、z₀ = (0, 0.7)；(0, 1.4)及(0, 2.1)。

單擺軌跡

顯式（或隱式）歐拉法是從原點向外（或向內）的螺旋運動。另兩種方法顯示了正確的定性行為，隱式中點法則與精確解的吻合程度高於辛歐拉法。

回顧一下，具有1自由度的哈密頓系統的精確流${\displaystyle \phi _{t}}$是保面積的，即

${\displaystyle \det {\frac {\partial \phi _{t}}{\partial (q_{0},p_{0})}}=1}$ for all ${\displaystyle t}$.

此式很容易手動驗證。對我們的單擺例子，可以發現，顯式歐拉法的數值流${\displaystyle \Phi _{{\mathrm {eE} },h}:z_{k}\mapsto z_{k+1}}$不保面積；即

${\displaystyle \det {\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {eE} },h}(z_{0})={\begin{vmatrix}1&h\\-h\cos q_{0}&1\end{vmatrix}}=1+h^{2}\cos q_{0}.}$

隱式歐拉法也可進行類似計算，行列式為

${\displaystyle \det {\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {iE} },h}(z_{0})=(1+h^{2}\cos q_{1})^{-1}.}$

辛歐拉法是保面積的：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-h\\0&1\end{pmatrix}}{\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {sE} },h}(z_{0})={\begin{pmatrix}1&0\\-h\cos q_{0}&1\end{pmatrix}},}$

於是${\displaystyle \det(\partial \Phi _{{\mathrm {sE} },h}/\partial (q_{0},p_{0}))=1}$。隱式中點法則具有類似的幾何特性。

總結：單擺例表明，除顯式、隱式歐拉法不是解決問題的好方法外，辛歐拉法和隱式中點法則與系統的精確流非常吻合，後者更精確。而且後兩種方案與精確流都保面積，是幾何積分（實際上是辛積分）的兩個例子。

活動標架法

活動標架法可用於構建保持ODE李對稱性的數值方法。龍格-庫塔法等現有方法可用活動標架法進行修改，以產生不變版本。^[1]

另見

• 能量漂移