幾何-調和平均數

兩個正實數${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的幾何-調和平均數（英語：Geometric–harmonic mean）是一種二元平均數。

定義

首先計算${\displaystyle x}$的${\displaystyle y}$幾何平均數，稱其為${\displaystyle g_{1}}$。然後計算${\displaystyle x}$的${\displaystyle y}$調和平均數，稱其為${\displaystyle h_{1}}$.

${\displaystyle g_{1}={\sqrt {xy}}.}$

${\displaystyle h_{1}={\frac {2xy}{x+y}}}$

然後重複這個步驟，這樣便得到了兩個數列(${\displaystyle g_{n}}$)和(${\displaystyle h_{n}}$)：

${\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}h_{n}}}.}$

${\displaystyle h_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{g_{n}}}+{\frac {1}{h_{n}}}}}}$

這兩個數列收斂於相同的數，這個數稱為${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的幾何-調和平均數，記為${\displaystyle M(x,y)}$，或${\displaystyle \mathrm {ghm} (x,y)}$。

性質

幾何-調和平均數${\displaystyle M(x,y)}$介於${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的幾何平均數和調和平均數之間；並且也介於${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$之間。${\displaystyle M(x,y)}$是齊次的，也就是對於${\displaystyle r>0}$，有${\displaystyle M(rx,ry)=rM(x,y)}$

幾何-調和平均數${\displaystyle M(x,y)}$和算術-幾何平均數${\displaystyle AG(x,y)}$之間具有以下關係：

${\displaystyle M(x,y)={\frac {1}{AG({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}})}}}$

參見

• 調和平均數
• 幾何平均數