凱澤窗

凱澤窗（Kaiser window）是由貝爾實驗室的James Kaiser所提出的。凱澤窗是一個單參數的窗函數群，用在數位訊號處理中，其定義如下^[1][2]：

${\displaystyle w[n]=\left\{{\begin{matrix}{\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N-1}}-1\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},&0\leq n\leq N-1\\\\0&{\mbox{otherwise}},\\\end{matrix}}\right.}$

凱澤窗

其中：

• N 為序列的長度
• I₀ 是零階的第一類修正貝索函數
• α 是任意非負實數，用來調整凱澤窗的外形。在頻域上可以在主瓣（main-lobe）寬度及旁瓣（side lobe）大小中取拾，這是窗函數設計的重要考量因素。

若N為奇數，窗函數最大值會在 ${\displaystyle \scriptstyle w[(N-1)/2]=1,}$ 。若N為偶數，窗函數最大值會在 ${\displaystyle \scriptstyle w[N/2-1]\ =\ w[N/2]\ <\ 1.}$。

傅立葉變換

若將上述離散數列視為是連續函數，並進行傅立葉變換：

${\displaystyle \underbrace {\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2t}{(N-1)T}}\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}} _{w_{0}(t)}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad \underbrace {\frac {(N-1)T\cdot \sinh \left(\pi {\sqrt {\alpha ^{2}-\left((N-1)T\cdot f\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )\cdot \pi {\sqrt {\alpha ^{2}-\left((N-1)T\cdot f\right)^{2}}}}} _{W_{0}(f)}.}$

兩個不同α參數凱澤窗的傅立葉變換

w₀(t)的最大值為w₀(0) = 1.  上述的w[n]數列為以下函收的取様：

${\displaystyle w_{0}\left(t-{\tfrac {(N-1)T}{2}}\right)\cdot \operatorname {rect} \left({\tfrac {t-(N-1)T/2}{NT}}\right),}$   ，在間隔T的時間進行取樣。

而且rect()為矩形函數. W₀(f)主瓣後的第一個零點在：

${\displaystyle f={\frac {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}{NT}},}$     ^[3]

調整α可以在主瓣的寬度及旁瓣大小中進行取捨。若α增加，W₀(f)主瓣的寬度增加，而旁瓣的大小減小，如右圖所示。α = 0會對應長方形的窗函數。若α增加，時域及頻率下凱澤窗的形狀都會接近高斯曲線。凱澤窗在頻率0附近的集中程度是幾乎最佳化的（Oppenheim et al., 1999）。