柴比雪夫總和不等式

數學上的柴比雪夫總和不等式或柴比雪夫不等式以數學家柴比雪夫命名，可用以比較兩組數積的和及兩組數的線性和的積的大小：

關於機率論中相似名稱的不等式，請見「柴比雪夫不等式」。

若${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}$且${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}}$，則：

${\displaystyle n\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)\geq n\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{n+1-k}}$。

上式也可以寫作

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)\geq {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{n+1-k}}$。

它是由排序不等式而來。

證明

設${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}$且${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}}$，由排序不等式可知，最大的和為順序和：

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}}$

於是：

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}$

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{2}+a_{2}b_{3}+\cdots +a_{n}b_{1}}$

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{3}+a_{2}b_{4}+\cdots +a_{n}b_{2}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{n}+a_{2}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n-1}}$

將這${\displaystyle n}$個不等式分邊相加，同時對右邊進行因式分解，便得到：

${\displaystyle n(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})\geq (a_{1}+\cdots +a_{n})(b_{1}+\cdots +b_{n})}$

兩邊都除以${\displaystyle n^{2}}$，就得到柴比雪夫不等式的第一個不等號：

${\displaystyle {\frac {a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}}{n}}\geq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}\cdot {\frac {b_{1}+\cdots +b_{n}}{n}}}$

同理，右邊的不等號可由最小的和為逆序和推得。

積分形式

柴比雪夫不等式的積分形式如下:

若${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$是區間${\displaystyle [0,1]}$上的可積的實函數，並且兩者都是遞增或兩者都是遞減的，則：

${\displaystyle \int fg\geq \int f\int g}$

上式可推廣到任意區間。

相關條目

• 排序不等式

外部連結

• Mathworld: Chebyshev Sum Inequality （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）