初拓撲

在一般拓撲學與數學的相關領域中，給定集合${\displaystyle X}$與${\displaystyle X}$上的一族函數，其初拓撲（initial topology）是使得這一族函數連續的最粗糙拓撲。

子空間拓撲與積拓撲都是初拓撲的特例。事實上，初拓撲可以看作是這兩種結構的推廣。

與初拓撲對偶的結構稱為終拓撲。

定義

定義 — ${\displaystyle X}$ 為集合，設有一集合族 ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ 與其指標集 ${\displaystyle I}$ ：

${\displaystyle I\,{\overset {Y}{\cong }}\,{\mathcal {Y}}}$

還有一族與之相對應的拓撲 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ ：

${\displaystyle I\,{\overset {\tau }{\cong }}\,{\mathfrak {T}}}$

${\displaystyle (\forall i\in I)\left[\tau _{i}{\text{ is a topology of }}Y_{i}\right]}$

和一函數族 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ：

${\displaystyle I\,{\overset {f}{\cong }}\,{\mathcal {F}}}$

${\displaystyle (\forall i\in I)\left(f_{i}:X\to Y_{i}\right)}$

那 ${\displaystyle X}$ 上關於 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 的初拓撲 ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$，定義為「對所有 ${\displaystyle i\in I}$ ， ${\displaystyle f(i)}$ 為 ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ - ${\displaystyle \tau _{i}}$ 連續」的最粗糙拓撲。

定理 — 若 ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ 是上述定義所說， ${\displaystyle X}$ 上關於 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 的初拓撲，取：

${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\left\{B\,|\,(\exists i\in I)(\exists O\in \tau _{i})[B={f_{i}}^{-1}(O)]\right\}}$

那 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的拓撲基，且 ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ 就是由 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 所生成的拓撲。

證明

因為： ${\displaystyle (\forall i\in I)\{[X=f^{-1}(Y_{i})]\wedge (Y_{i}\in \tau _{i})\}}$ 所以： ${\displaystyle \left(X=\bigcup \{X\}\right)\wedge (\{X\}\subseteq {\mathcal {B}})}$ 另外對於任意${\displaystyle i\in I}$，和任意 ${\displaystyle V,W\in \tau _{i}}$ 有： ${\displaystyle {f_{i}}^{-1}(V\cap W)={f_{i}}^{-1}(V)\cap {f_{i}}^{-1}(W)}$ 這樣，因為 ${\displaystyle V\cap W\in \tau _{i}}$ ，所以： ${\displaystyle {f_{i}}^{-1}(V)\cap {f_{i}}^{-1}(W)\in {\mathcal {B}}}$ 根據以上所述， ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 的確是 ${\displaystyle X}$ 的拓撲基。 另外，對任意 ${\displaystyle X}$ 上的拓撲 ${\displaystyle \tau }$ 來說，「對所有 ${\displaystyle i\in I}$ ， ${\displaystyle f(i)}$ 為 ${\displaystyle \tau }$ - ${\displaystyle \tau _{i}}$ 連續」等價於： 「對所有 ${\displaystyle i\in I}$ ，和所有 ${\displaystyle O\in \tau _{i}}$ ， ${\displaystyle {f_{i}}^{-1}(O)\in \tau }$」 也就等價於： ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ 這樣根據拓撲基的性質(1)，${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ 就是 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 所生成的拓撲，至此本定理得證。${\displaystyle \Box }$

上述拓撲基 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 裡的元素通常被稱為圓柱集合（英語：Cylinder set）（cylinder set）。

實例

• 子空間拓撲是在子空間上，關於包含映射的初拓撲。
• 積拓撲是關於一族投影映射的初拓撲。
• 局部凸拓撲向量空間（英語：Locally convex topological vector space）的弱拓撲（英語：Weak topology）是關於映射至其對偶空間的連續線性算子的初拓撲。

性質

特徵性質

給出任意拓撲空間${\displaystyle Z}$，X上的初拓撲依照上面所給的定義。則有以下性質成立：
從${\displaystyle Z}$到${\displaystyle X}$的映射${\displaystyle g}$是連續的，若且唯若 ${\displaystyle f_{i}\circ g}$ 是連續的。

Evaluation

從閉集分離點

稱${\displaystyle f_{i}:X\rightarrow Y_{i}}$從閉集分離點，如果${\displaystyle X}$中任意閉集${\displaystyle A}$，與任意不屬於${\displaystyle A}$的點${\displaystyle x}$，${\displaystyle \exists i\in I}$，使得
${\displaystyle f_{i}(x)\notin \operatorname {cl} (f_{i}(A))}$
這裡的cl是閉包算子。

關於初拓撲有如下定理：
一族連續映射從閉集分離點，若且唯若the cylinder sets構成集合${\displaystyle X}$的一個基。

從這個定理可以得到，如果${\displaystyle X}$上有一族連續映射從閉集分離點，那麼關於這族映射就存在一個初拓撲。反之是不成立的，因為初拓撲是由${\displaystyle f^{-1}(U)}$為子基生成的拓撲，在這個定理中要求the cylinder sets是集合${\displaystyle X}$的一個基。

參考資料

• Willard, Stephen. General Topology. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. 1970. ISBN 0-486-43479-6.
• Initial topology. PlanetMath.
• Product topology and subspace topology. PlanetMath.