勒讓德定理

勒讓德定理指的是在正數${\displaystyle n!}$的質因數分解中，質數${\displaystyle p}$的指數記作${\displaystyle \nu _{p}(n!)}$，則${\displaystyle \nu _{p}(n!)=\sum _{k\geq 1}\left\lfloor {n \over p^{k}}\right\rfloor }$。有時這定理又以阿爾方·德·波利尼亞克為名而稱為德·波利尼亞克公式（de Polignac's formula）。

背景

勒讓德定理是由法國數學家勒讓德發現證明的。

證明

若把${\displaystyle 2,3,\cdots ,n}$都分解成了標準分解式，則${\displaystyle \nu _{p}(n!)}$就是這${\displaystyle n-1}$個分解式中${\displaystyle p}$的指數和。設其中${\displaystyle p}$的指數為${\displaystyle r}$的有${\displaystyle n_{r}}$個(${\displaystyle r\geq 1}$)，則

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{p}(n!)&=n_{1}+2n_{2}+3n_{3}+...=\sum _{r\geq 1}rn_{r}\\&=(n_{1}+n_{2}+n_{3}+...)+(n_{2}+n_{3}+...)+(n_{3}+...)=N_{1}+N_{2}+N_{3}+...=\sum _{k\geq 1}N_{k}\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle N_{k}=n_{k}+n_{k+1}+...=\sum _{r\geq k}n_{r}}$恰好是${\displaystyle 2,3,\cdots ,n}$這${\displaystyle n-1}$個數中能被${\displaystyle p^{k}}$除盡的數的個數，即${\displaystyle N_{k}=\left\lfloor {n \over p^{k}}\right\rfloor }$得證。

其它表達式

將${\displaystyle n}$以${\displaystyle p}$為基底寫做${\displaystyle n=n_{\ell }p^{\ell }+\cdots +n_{1}p+n_{0}}$（進位制）

定義${\displaystyle {\displaystyle s_{p}(n)=n_{0}+n_{1}+\cdots +n_{r}}}$是${\displaystyle p}$底數的數位和，則

${\displaystyle \nu _{p}(n!)={\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}.}$

因此勒讓德定理可以用來證明庫默爾定理。

證明

${\displaystyle n=n_{\ell }p^{\ell }+\cdots +n_{1}p+n_{0}}$

${\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor =n_{\ell }p^{\ell -i}+\cdots +n_{i+1}p+n_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{p}(n!)&=\sum _{i=1}^{\ell }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor \\&=\sum _{i=1}^{\ell }\left(n_{\ell }p^{\ell -i}+\cdots +n_{i+1}p+n_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{\ell }\sum _{j=i}^{\ell }n_{j}p^{j-i}\\&=\sum _{j=1}^{\ell }\sum _{i=1}^{j}n_{j}p^{j-i}\\&=\sum _{j=1}^{\ell }n_{j}\cdot {\frac {p^{j}-1}{p-1}}\\&=\sum _{j=0}^{\ell }n_{j}\cdot {\frac {p^{j}-1}{p-1}}\\&={\frac {1}{p-1}}\sum _{j=0}^{\ell }\left(n_{j}p^{j}-n_{j}\right)\\&={\frac {1}{p-1}}\left(n-s_{p}(n)\right).\end{aligned}}}$