協變經典場論

近年來，協變經典場論又引起了研究者的興趣。動力學在這裡用有限維空間的在時空中的給定時間點上的場來表述。射流叢現在被認為是這種表述的正確定義域。 本文給出一階經典場論的協變表述的一些幾何結構。

記法

本條目記法和射流叢條目所引入的一致。並令${\displaystyle {\bar {\Gamma }}(\pi )}$表示有緊支撐的${\displaystyle \pi \,}$的截面。

作用量積分

一個經典場論數學上可以如下表述

• 一個纖維叢 ${\displaystyle ({\mathcal {E}},\pi ,{\mathcal {M}})}$，其中${\displaystyle {\mathcal {M}}}$表示一個${\displaystyle n\,}$維時空。
• 一個拉格朗日量形式 ${\displaystyle \Lambda :J^{1}\pi \rightarrow \Lambda ^{n}M}$

令${\displaystyle \star 1\,}$代表${\displaystyle M\,}$上的體積形式，則${\displaystyle \Lambda =L\star 1\,}$，其中${\displaystyle L:J^{1}\pi \rightarrow \mathbb {R} }$是拉格朗日量函數。 我們在 ${\displaystyle J^{1}\pi \,}$上選擇纖維化坐標${\displaystyle \{x^{i},u^{\alpha },u_{i}^{\alpha }\}\,}$，使得

${\displaystyle \star 1=dx^{1}\wedge \ldots \wedge dx^{n}}$

作用量積分定義為

${\displaystyle S(\sigma )=\int _{\sigma ({\mathcal {M}})}(j^{1}\sigma )^{*}\Lambda \,}$

其中${\displaystyle \sigma \in {\bar {\Gamma }}(\pi )}$，並定義於開集${\displaystyle \sigma ({\mathcal {M}})\,}$，而${\displaystyle j^{1}\sigma \,}$代表其第一射流延長(jet prolongation)。

作用量積分的變分

截面${\displaystyle \sigma \in {\bar {\Gamma }}(\pi )\,}$的變分由曲線${\displaystyle \sigma _{t}=\eta _{t}\circ \sigma \,}$給出，其中${\displaystyle \eta _{t}\,}$是一個${\displaystyle {\mathcal {E}}\,}$上的${\displaystyle \pi \,}$-豎直向量場${\displaystyle V\,}$的流，它在${\displaystyle {\mathcal {M}}\,}$上有緊支撐。 截面${\displaystyle \sigma \in {\bar {\Gamma }}(\pi )\,}$稱為變分的駐點，如果

${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\int _{\sigma ({\mathcal {M}})}(j^{1}\sigma _{t})^{*}\Lambda =0\,}$

這等價於

${\displaystyle \int _{\mathcal {M}}(j^{1}\sigma )^{*}{\mathcal {L}}_{V^{1}}\Lambda =0\,}$

其中${\displaystyle V^{1}\,}$代表${\displaystyle V\,}$的第一延長，按李導數的定義。 使用嘉當公式，${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=i_{X}d+di_{X}\,}$， 斯托克斯定理以及${\displaystyle \sigma \,}$的緊支撐，可以證明這等價於

${\displaystyle \int _{\mathcal {M}}(j^{1}\sigma )^{*}i_{V^{1}}d\Lambda =0\,}$

歐拉－拉格朗日方程

考慮一個${\displaystyle {\mathcal {E}}}$的${\displaystyle \pi \,}$-豎直向量場

${\displaystyle V=\beta ^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}\,}$

其中${\displaystyle \beta ^{\alpha }=\beta ^{\alpha }(x,u)\,}$。採用切觸形式 ${\displaystyle \theta ^{j}=du^{j}-u_{i}^{j}dx^{i}\,}$ on ${\displaystyle J^{1}\pi \,}$，我們可以計算${\displaystyle V\,}$的第一延長。然後得到

${\displaystyle V^{1}=\beta ^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial u^{j}}}u_{i}^{j}\right){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}\,}$

其中${\displaystyle \gamma _{i}^{\alpha }=\gamma _{i}^{\alpha }(x,u^{\alpha },u_{i}^{\alpha })\,}$。 據此，可以證明

${\displaystyle i_{V^{1}}d\Lambda =\left[\beta ^{\alpha }{\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}+\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial u^{j}}}u_{i}^{j}\right){\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\right]\star 1\,}$

因而

${\displaystyle (j^{1}\sigma )^{*}i_{V^{1}}d\Lambda =\left[(\beta ^{\alpha }\circ \sigma ){\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma +\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}\circ \sigma +\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial u^{j}}}\circ \sigma \right){\frac {\partial \sigma ^{j}}{\partial x^{i}}}\right){\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma \right]\star 1\,}$

分部積分並考慮${\displaystyle \sigma \,}$的緊支撐，臨界條件變為

${\displaystyle \int _{\mathcal {M}}(j^{1}\sigma )^{*}i_{V^{1}}d\Lambda \,}$	${\displaystyle =\int _{\mathcal {M}}\left[{\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma -{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma \right)\right](\beta ^{\alpha }\circ \sigma )\star 1\,}$
	${\displaystyle =0\,}$

因為${\displaystyle \beta ^{\alpha }\,}$為任意函數，我們得到

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma -{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma \right)=0\,}$

這些就是歐拉－拉格朗日方程組。

參看

• 經典場論
• 外代數
• 纖維叢
• 射流
• 量子場論

參考

• Saunders, D.J., "The Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
• Bocharov, A.V. [et al.] "Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics", Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958
• De Leon, M., Rodrigues, P.R., "Generalized Classical Mechanics and Field Theory", Elsevier Science Publishing, 1985, ISBN 0-444-87753-3
• Griffiths, P.A., "Exterior Differential Systems and the Calculus of Variations", Boston: Birkhauser, 1983, ISBN 3-764-33103-8
• Gotay, M.J., Isenberg, J., Marsden, J.E., Montgomery R., Momentum Maps and Classical Fields Part I: Covariant Field Theory, November 2003
• Echeverria-Enriquez, A., Munoz-Lecanda, M.C., Roman-Roy,M., Geometry of Lagrangian First-order Classical Field Theories^{[永久失效連結]}, May 1995