博雷爾-卡拉西奧多里定理

在複分析中，博雷爾-卡拉西奧多里定理（Borel-Carathéodory theorem）表明解析函數有一個用實部表示的上界。它是最大模原理的一個應用，以埃米爾·博雷爾與康斯坦丁·卡拉西奧多里命名。

定理陳述

設函數${\displaystyle f}$在以原點為圓心以${\displaystyle R}$為半徑的閉圓盤上解析。假設${\displaystyle r<R}$，則有以下不等式：

${\displaystyle \|f\|_{r}\leq {\frac {2r}{R-r}}\sup _{|z|\leq R}{\operatorname {Re} {f(z)}}+{\frac {R+r}{R-r}}|f(0)|}$

其中左邊的範數是${\displaystyle f}$在閉圓盤上的最大值：

${\displaystyle \|f\|_{r}=\max _{|z|\leq r}{|f(z)|}=\max _{|z|=r}{|f(z)|}}$

證明

定義${\displaystyle A=\sup _{|z|\leq R}{\operatorname {Re} {f(z)}}}$。

首先設${\displaystyle f(0)=0}$。由於${\displaystyle \operatorname {Re} {f}}$是調和的，可以取${\displaystyle A>0}$。${\displaystyle f}$映到直線${\displaystyle x=A}$左邊的半平面${\displaystyle P}$。我們想把這個半平面映到圓盤上，再用施瓦茨引理，得到所要的不等式。

${\displaystyle w\mapsto w/A-1}$把${\displaystyle P}$變成標準左半平面。${\displaystyle w\mapsto R(w+1)/(w-1)}$把左半平面變成圓心在原點且半徑為${\displaystyle R}$的圓。它們的複合映射把0映成0，就是所需要的映射：

${\displaystyle w\mapsto {\frac {Rw}{w-2A}}}$

對上面這個映射與${\displaystyle f}$的複合使用施瓦茨引理，得到

${\displaystyle {\frac {|Rf(z)|}{|f(z)-2A|}}\leq |z|}$

取${\displaystyle |z|<r}$，上式變為

${\displaystyle R|f(z)|\leq r|f(z)-2A|\leq r|f(z)|+2Ar}$

所以

${\displaystyle |f(z)|\leq {\frac {2Ar}{R-r}}}$

對於一般的情況，考慮${\displaystyle f(z)-f(0)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|f(z)|-|f(0)|&\leq |f(z)-f(0)|\\&\leq {\frac {2r}{R-r}}\sup _{|w|\leq R}{\operatorname {Re} {(f(w)-f(0))}}\\&\leq {\frac {2r}{R-r}}\left(\sup _{|w|\leq R}{\operatorname {Re} {f(w)}+|f(0)|}\right)\\\end{aligned}}}$

整理後即得所要證明的不等式。

參考資料

• Lang, Serge (1999). Complex Analysis (4th ed.). New York: Springer-Verlag, Inc. ISBN 0-387-98592-1.
• Titchmarsh, E. C. (1938). The theory of functions. Oxford University Press.