盧卡斯數列

盧卡斯數列是斐波那契數和盧卡斯數的推廣，以法國數學家愛德華·盧卡斯命名。

提示：此條目的主題不是盧卡斯數。

遞推關係

給定兩個整數P和Q，滿足：

${\displaystyle P^{2}-4Q\neq 0}$

則第一類盧卡斯數列U_n(P,Q)和第二類盧卡斯數列V_n(P,Q)由以下遞推關係定義：

${\displaystyle U_{0}(P,Q)=0\,}$

${\displaystyle U_{1}(P,Q)=1\,}$

${\displaystyle U_{n}(P,Q)=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q)\,\,,\,n>1\,}$

以及

${\displaystyle V_{0}(P,Q)=2\,}$

${\displaystyle V_{1}(P,Q)=P\,}$

${\displaystyle V_{n}(P,Q)=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q)\,\,,\,n>1\,}$

代數關係

盧卡斯數列的特徵方程是：

${\displaystyle x^{2}-Px+Q=0\,}$

它的判別式是${\displaystyle D=P^{2}-4Q}$，它的根是：

${\displaystyle a={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}\quad ,\quad b={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}.\,}$

注意a和b是不同的，因為${\displaystyle D\neq 0.}$

盧卡斯數列的項可以用a和b的項定義如下：

${\displaystyle U_{n}(P,Q)={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}={\frac {a^{n}-b^{n}}{\sqrt {D}}}}$

${\displaystyle V_{n}(P,Q)=a^{n}+b^{n}\,}$

從中我們可以推出以下關係：

${\displaystyle a^{n}={\frac {V_{n}+U_{n}{\sqrt {D}}}{2}}}$

${\displaystyle b^{n}={\frac {V_{n}-U_{n}{\sqrt {D}}}{2}}}$

其他關係

不少斐波那契數和盧卡斯數所滿足的關係，在盧卡斯數列中也有類似的形式。例如：

一般	P=1, Q=-1
${\displaystyle U_{n}={\frac {V_{n+1}-QV_{n-1}}{P^{2}-4Q}}}$	${\displaystyle U_{n}={\frac {V_{n+1}+V_{n-1}}{5}}}$
${\displaystyle V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}}$	${\displaystyle V_{n}=U_{n+1}+U_{n-1}}$
${\displaystyle U_{2n}=U_{n}V_{n}}$	${\displaystyle U_{2n}=U_{n}V_{n}}$
${\displaystyle V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}}$	${\displaystyle V_{2n}=V_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$
${\displaystyle U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}}$	${\displaystyle U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}+U_{m}U_{n-1}}$
${\displaystyle V_{n+m}=V_{n}V_{m}-Q^{m}V_{n-m}\,}$	${\displaystyle V_{n+m}=V_{n}V_{m}-(-1)^{m}V_{n-m}\,}$

特殊名稱

對於某些P和Q的值，盧卡斯數列有特殊名稱：

U_n(1,−1)：斐波那契數

V_n(1,−1)：盧卡斯數

U_n(2,−1)：佩爾數

U_n(1,−2)：Jacobsthal數

應用

• LUC是一個基於盧卡斯數列的密碼系統。

參考文獻

• Ribenboim, Paulo. My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. New York: Springer-Verlag. 2000. 0-387-98911-0.
• Arthur T. Benjamin; Jennifer J. Quinn. Proofs that Really Count. Mathematical Association of America. 2003: 35. ISBN 0883853337. 引文使用過時參數coauthors (幫助)
• Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).