古爾丁定理

古爾丁定理（英語：Guldinus theorem）^{[註 1]}，最初由古希臘的帕普斯發現，後來在16世紀保羅·古爾丁（英語：Paul Guldin）又重新發現了這個定理。

表面積

• 有一條平面曲線，跟它的同一個平面上有一條軸。由該平面曲線以該條軸與旋轉而產生的旋轉曲面的表面積${\displaystyle A}$，等於曲線的長度${\displaystyle s}$乘以曲線的幾何中心經過的距離${\displaystyle d_{1}}$：${\displaystyle A=sd_{1}}$。

1. 例：設環面圓管半徑為${\displaystyle r}$，圓管中心到環面中心距離為${\displaystyle R}$，把環面看成上面提到的曲線，其幾何中心是圓管中心。所以環面表面積為${\displaystyle (2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}rR}$

若有平面連續曲線${\displaystyle y=f(x)}$，求${\displaystyle x}$在${\displaystyle [a,b]}$時，曲線以${\displaystyle x}$軸旋轉所得的曲面表面積。可考慮一小段曲線，其幾何中心便是${\displaystyle y}$，曲線長度為${\displaystyle {\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}}$，因此這個曲面的表面積便是：

${\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\;\mathrm {d} x}$。

體積

• 由平面形狀繞和它的同一個平面上的軸旋轉而產生的旋轉體的體積${\displaystyle V}$，等於平面形狀面積${\displaystyle S}$乘以平面形狀的幾何中心經過的距離${\displaystyle d_{1}}$的積：${\displaystyle V=Sd_{1}}$。

再考慮一般平面曲線下的面積的情況，可得旋轉體體積${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}y^{2}\;\mathrm {d} x}$。