在群論中,一個可除群是一個滿足以下條件的阿貝爾群 G {\displaystyle G} :對每個正整數 n {\displaystyle n} 及元素 g ∈ G {\displaystyle g\in G} ,存在 h ∈ G {\displaystyle h\in G} 使得 n h = g {\displaystyle nh=g} 。等價的表法是: ∀ n > 0 , n G = G {\displaystyle \forall n>0,\;nG=G} 。事實上,可除群恰好是 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 上的內射模,所以有時也稱之為內射群。 此條目沒有列出任何參考或來源。 (2010年2月10日) Remove ads例子 有理數 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 對加法構成可除群。 一般而言,任何 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } -向量空間對加法都構成可除群。 可除群的商群仍可除,如 Q / Z {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} } 。 p-Prüfer 群 Z ( p ∞ ) := { e 2 i π p m : m ∈ N ≥ 0 } {\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty }):=\{e^{\frac {2i\pi }{p^{m}}}:m\in \mathbb {N} _{\geq 0}\}} 是可除群 在模型論中,任何存在性封閉的群皆可解。 Remove ads可除群結構定理 令 G {\displaystyle G} 為可解群,則其撓子群 T o r ( G ) {\displaystyle \mathrm {Tor} (G)} 亦可除。由於可解群是 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -內射模, T o r ( G ) {\displaystyle \mathrm {Tor} (G)} 是直和項,即: G = T o r ( G ) ⊕ G / T o r ( G ) . {\displaystyle G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).} 商群 G / T o r ( G ) {\displaystyle G/\mathrm {Tor} (G)} 亦可解,而且其中沒有撓元,所以它是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } -上的向量空間:存在集合 I {\displaystyle I} 使得 G / T o r ( G ) = ⊕ i ∈ I Q = Q ( I ) . {\displaystyle G/\mathrm {Tor} (G)=\oplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.} 撓子群的結構稍複雜,然而可以證明對所有素數 p {\displaystyle p} ,存在 I p {\displaystyle I_{p}} 使得 ( T o r ( G ) ) p = ⊕ i ∈ I p Z [ p ∞ ] = Z [ p ∞ ] ( I p ) , {\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))_{p}=\oplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},} 其中 T o r ( G ) ) p {\displaystyle \mathrm {Tor} (G))_{p}} 是 T o r ( G ) {\displaystyle \mathrm {Tor} (G)} 是的 p {\displaystyle p} -準素部分。於是: G = ( ⊕ P Z [ p ∞ ] ( I p ) ) ⊕ Q ( I ) . {\displaystyle G=(\oplus _{P}\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})})\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.} Remove ads推廣 一個環 R {\displaystyle R} 上的左可除模是滿足 ∀ r ≠ 0 ∈ R , r M = M {\displaystyle \forall r\neq 0\in R,\;rM=M} 的模 M {\displaystyle M} 。可除群不外是可除 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -模。主理想域上的可除模恰好是內射模。 Loading related searches...Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. On steroids.Remove ads