設
為拓撲空間而
為
維球面。選定基點
。定義
為
,也就是由保持基點的連續映射
的同倫類構成的集合。為了方便起見,以緯垂坐標表示球面上的點,即:
表示
在商映射
下的像。取
的基點為
。
注意到當
時,
而
的元素一一對應到
的連通分支。
基本群的群運算
對於
,
帶有自然的群結構:首先,我們構造一個連續映射:

在此
定義為將兩份
沿基點黏合得到的拓撲空間。映射
定義為

直觀來看,
的效應相當於將球面
沿赤道掐扁。
給定
,我們定義
,由於
,此函數有完善的定義。此外也不難驗證
僅依賴於
的同倫類。
可以證明運算
滿足群公理,其單位元素為常值映射
。
不外就是基本群;而當
時,
是阿貝爾群,稱為高階同倫群。不同基點對應的同倫群只差一個自然同構。
若在定義中省掉基點,則得到的集合
等同於
在
作用下的軌道集。可見若
,
未必有自然的群結構。