向形

理論物理中，向形（orientifold）是對軌形的推廣，1987年由Augusto Sagnotti提出。其新穎之處在於，弦論中軌形群的非平凡元素包括弦方向的反轉；因此，向形化會產生無向弦，即沒有攜帶「箭頭」的弦，其兩個相反方向是等價的。第一型弦理論是最簡單的例子，可通過向形化IIB型弦得到。

用數學術語來說，給定光滑流形${\displaystyle {\mathcal {M}}}$，兩自由作用離散群${\displaystyle G_{1},\ G_{2}}$與世界面宇稱算子${\displaystyle \Omega _{p}}$（使得${\displaystyle \Omega _{p}:\sigma \to 2\pi -\sigma }$），向形便可表為商空間${\displaystyle {\mathcal {M}}/(G_{1}\cup \Omega G_{2})}$。若${\displaystyle G_{2}}$空，則商空間是軌形；若${\displaystyle G_{2}}$非空，則是向形。

在弦論的應用

弦論中，${\displaystyle {\mathcal {M}}}$是通過捲起額外維度得到的緊空間，具體說是6維卡拉比-丘流形。最簡單的可行緊空間是由修改環面形成的空間。

超對稱破缺

6維空間採用卡拉比-丘形式，是為了使弦論的超對稱部分破缺，以使其更符合現象。第二類弦論有32個實超荷，在6維環面上緊化後，都不會破缺。在更一般的卡拉比-丘6維流形上緊化，則會有3/4的超對稱破缺，產生具有8個超荷（N=2）的4維理論。要進一步分解為現象上唯一可行的非平凡超對稱（N=1），必須將一半的超對稱生成子投影出來，這可通過向形投影來實現。

對場內容的影響

除了用卡拉比-丘以突破N=2之外，還有更簡單的方法：用由環面生成的軌形。這時，研究與空間相關的對稱群更簡單，因為空間的定義就給出了對稱群。

軌形群${\displaystyle G_{1}}$僅限於能在環面格上起晶體學作用的群，^[1]即保格。${\displaystyle G_{2}}$可由對合${\displaystyle \sigma }$生成，注意不要與表示弦長度方向上位置的參數相混淆。對合以不同形式作用於全純3形式${\displaystyle \Omega }$（同樣，不要與上面的宇稱算子混淆），取決於所用的弦公式。^[2]

• IIB型：${\displaystyle \sigma (\Omega )=\Omega }$或${\displaystyle \sigma (\Omega )=-\Omega }$
• IIA型：${\displaystyle \sigma (\Omega )={\bar {\Omega }}}$

向形作用還原到弦向的改變的軌跡，稱作向形面。對合不影響時空宏觀維度，於是向形可有維度至少為3的O平面。在${\displaystyle \sigma (\Omega )=\Omega }$時，所有空間維度都可能保持不變，O9面也可能存在。I型弦論中的向形面就是時空填充O9面。 更一般地說，可考慮向形Op面，維度p的計算與Dp膜類似。O面與D膜可在相同結構中使用，並通常具有彼此相反的張力。

但與D膜不同的是，O面不是動態的。它們完全由對合作用定義，而非像D膜由弦邊界條件定義。計算蝌蚪約束時，要同時考慮O面和D膜。

對合也作用於復結構(1,1)形式J

• IIB型：${\displaystyle \sigma (J)=J}$
• IIA型：${\displaystyle \sigma (J)=-J}$

這樣，空間參數化的模 數就減少了。由於${\displaystyle \sigma }$是對合，所以特徵值${\displaystyle \pm 1}$。(1,1)形式基${\displaystyle \omega _{i}}$，維數${\displaystyle h^{1,1}}$（由向形上同調的霍奇菱形定義）寫作：每個基形式在${\displaystyle \sigma }$下都有確定的符號。由於模${\displaystyle A_{i}}$由${\displaystyle J=A_{i}\omega _{i}}$定義，J在${\displaystyle \sigma }$下則要如上進行變換，因此只有在${\displaystyle \sigma }$下與宇稱正確的2形式基元素相配的模才能存活。於是，${\displaystyle \sigma }$會產生上同調的分裂：${\displaystyle h^{1,1}=h_{+}^{1,1}+h_{-}^{1,1}}$，一般來說描述向形用的模數也少於描述構建向形的軌形所用的模數。^[3]要注意的是，雖然向形投影出了一半的超對稱生成子，但投影出的模數則因空間而異。有時${\displaystyle h^{1,1}=h_{\pm }^{1,1}}$，即所有(1-1)形式在向形投影下都有相同的宇稱。這樣，不同超對稱內容進入模行為的方式是通過模經歷的通量相關純量勢，N=1情形異於N=2。