向量球諧函數

向量球諧函數(Vector spherical harmonics)是應用於球坐標系的拉普拉斯方程式的向量解，是球諧函數的向量衍伸形式。在必須計算向量場的電動力學等領域中被廣泛應用。

定義

在球坐標系下，拉普拉斯算符作用在一三維向量場上可以寫為

${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {A}}(r,\theta ,\phi )=0}$

利用分離變數法可以將此一方程式的解分解為一系列本徵函數的線性組合

${\displaystyle {\vec {A}}=R_{l}(r)\mathbf {Y} _{m,l}^{(n)}(\theta ,\phi ),n=1,2,3}$

其中的徑向解${\displaystyle R_{l}}$與純量球諧函數相同，而${\displaystyle \mathbf {Y} _{m,l}^{(n)}}$為一與角度相關的向量解，也就是向量球諧函數。

向量球諧函數依用途有很多定義方式^{[1][2][3][4][5]}。這邊我們依照 Barrera 等人的定義，以對球諧函數Y_ℓm(θ, φ)為基礎，將三個向量球諧函數表示為

• ${\displaystyle \mathbf {Y} _{lm}=Y_{lm}{\hat {\mathbf {r} }}}$
• ${\displaystyle \mathbf {\Psi } _{lm}=r\nabla Y_{lm}}$
• ${\displaystyle \mathbf {\Phi } _{lm}=\mathbf {r} \times \nabla Y_{lm}}$

這邊 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 是對應球座標 (r, θ, φ) 的向量，而 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ 則為其單位向量。

主要特性

依照上述 Barrera 的定義，向量球諧函數有以下特性：

對稱性

與球諧函數相同，向量球諧函數有對稱性

${\displaystyle \mathbf {Y} _{l,-m}=(-1)^{m}\mathbf {Y} _{lm}^{*}\qquad \mathbf {\Psi } _{l,-m}=(-1)^{m}\mathbf {\Psi } _{lm}^{*}\qquad \mathbf {\Phi } _{l,-m}=(-1)^{m}\mathbf {\Phi } _{lm}^{*}}$

星號 * 代表共軛函數。

正交性

三種向量球諧函數彼此兩兩正交

${\displaystyle \mathbf {Y} _{lm}\cdot \mathbf {\Psi } _{lm}=0\qquad \mathbf {Y} _{lm}\cdot \mathbf {\Phi } _{lm}=0\qquad \mathbf {\Psi } _{lm}\cdot \mathbf {\Phi } _{lm}=0}$

另外同種類的球諧函數的內積為：

${\displaystyle \int \mathbf {Y} _{lm}\cdot \mathbf {Y} _{l'm'}^{*}\,\mathrm {d} \Omega =\delta _{ll'}\delta _{mm'}}$

${\displaystyle \int \mathbf {\Psi } _{lm}\cdot \mathbf {\Psi } _{l'm'}^{*}\,\mathrm {d} \Omega =l(l+1)\delta _{ll'}\delta _{mm'}}$

${\displaystyle \int \mathbf {\Phi } _{lm}\cdot \mathbf {\Phi } _{l'm'}^{*}\,\mathrm {d} \Omega =l(l+1)\delta _{ll'}\delta _{mm'}}$

純量場的梯度

對一個純量場 ${\displaystyle \phi }$，若其多極展開可表示為：

${\displaystyle \phi =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\phi _{lm}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )}$

則其梯度可以向量球諧函數表示為：

${\displaystyle \nabla \phi =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left({\frac {\mathrm {d} \phi _{lm}}{\mathrm {d} r}}\mathbf {Y} _{lm}+{\frac {\phi _{lm}}{r}}\mathbf {\Psi } _{lm}\right)}$

散度

三種向量球諧函數之散度分別為：

${\displaystyle \nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {Y} _{lm}\right)=\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}+{\frac {2}{r}}f\right)Y_{lm}}$

${\displaystyle \nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{lm}\right)=-{\frac {l(l+1)}{r}}fY_{lm}}$

${\displaystyle \nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{lm}\right)=0}$

其中 ${\textstyle f(r)}$ 為球諧函數之徑向分布， ${\displaystyle Y_{lm}}$ 為球諧函數。

旋度

三種向量球諧函數之旋度分別為：

${\displaystyle \nabla \times \left(f(r)\mathbf {Y} _{lm}\right)=-{\frac {1}{r}}f\mathbf {\Phi } _{lm}}$

${\displaystyle \nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{lm}\right)=\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Phi } _{lm}}$

${\displaystyle \nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{lm}\right)=-{\frac {l(l+1)}{r}}f\mathbf {Y} _{lm}-\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Psi } _{lm}}$

其中 ${\textstyle f(r)}$ 為球諧函數之徑向分布

運用

電動力學

在沒有源的空間中，馬克士威方程組可以被簡化為^{[來源請求]}

${\displaystyle \triangledown ^{2}\mathbf {E} +k_{m}^{2}\mathbf {E} =0}$

${\displaystyle \triangledown ^{2}\mathbf {H} +k_{m}^{2}\mathbf {H} =0}$

此處 ${\displaystyle \mathbf {E} }$是電場，${\displaystyle \mathbf {H} }$是H場，${\displaystyle k_{m}}$是介質中的波數。

因為向量球諧函數可以很正確的描述簡化後的電磁場方程式，所以在電動力學中，向量球諧函數獲得廣泛的利用。常見的應用如多極輻射或米氏散射等。

參見

• 球諧函數
• 電磁輻射