不動點

在數學中，函數的不動點或定點是指被這個函數映射到其自身一個點。例如，定義在實數上的函數${\displaystyle f}$，

${\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+4}$，

「不動點」的各地常用名稱
中國大陸	不動點
臺灣	定點、不動點（數學）[1]

有三個不動點的函數

則${\displaystyle 2}$是函數${\displaystyle f}$的一個不動點，因為${\displaystyle f(2)=2}$。

也不是每一個函數都具有不動點。例如定義在實數上的函數${\displaystyle f(x)=x+1}$就沒有不動點。因為對於任意的實數，${\displaystyle x}$永遠不會等於${\displaystyle x+1}$。用畫圖的話來說，不動點意味著點${\displaystyle (x,f(x))}$在直線${\displaystyle y=x}$上，或者換句話說，函數${\displaystyle f}$的圖像與那根直線有共點。上例${\displaystyle f(x)=x+1}$的情況是，這個函數的圖像與那根直線是一對平行線。

在函數的有限次迭代之後回到相同值的點叫做周期點；不動點是周期等於 1 的周期點。

吸引不動點

不動點迭代 ${\displaystyle x_{n+1}=\cos x_{n}}$ 帶有初始值 ${\displaystyle x_{1}=-1}$。

函數 ${\displaystyle f}$ 的吸引不動點是 ${\displaystyle f}$ 的不動點 ${\displaystyle x_{0}}$ 使得，對在足夠接近 ${\displaystyle x_{0}}$ 的定義域中的任何 ${\displaystyle x}$ 值而言，迭代函數序列

${\displaystyle x,\ f(x),\ f(f(x)),\ f(f(f(x))),\dots }$

收斂於 ${\displaystyle x_{0}}$。如何接近才是「足夠接近」有時是個微妙的問題。

自然餘弦函數（自然意味著使用弧度而非角度）有精確的一個吸引不動點。在這種情況下，「足夠接近」根本不是嚴格標準 -- 為了展示這個情況，在計算器上開始於任何實數並重複按「cos」鍵。它會快速的收斂於大約 0.73908513，這就是不動點。這是餘弦函數和線 ${\displaystyle y=x}$ 在圖上的交叉點。

不是所有不動點都是吸引的：例如，${\displaystyle x=0}$ 是函數 ${\displaystyle f(x)=2x}$ 的不動點，但是這個函數對非零任意值的迭代快速的發散。

吸引不動點是更廣泛的數學概念吸引子的特殊情況。

吸引不動點被稱為穩定不動點如果它也是李雅普諾夫穩定性的。

一個不動點被稱為是中立穩定不動點如果它是李雅普諾夫穩定性的但不是吸引的。二階齊次線性微分方程的中心點是中立穩定不動點的例子。

應用

平衡和穩定性是許多領域的基本概念，可以用不動點來描述。例如在經濟學賽局理論中，一個賽局中的最佳回應：納什均衡點即是一個不動點。然而在物理學中，更確切地說在相變理論中，靠近一不穩定的不動點線性化，是1982年獲頒諾貝爾物理學獎得主威爾遜，因他發明了重整化群的作品，並對「臨界現象」這個術語作了數學解釋。

對於編程語言的編譯器，例如在數據流分析中，不動點計算通常用於需要代碼優化的程序分析。網際網路上所有網頁的PageRank值向量，即是由其鏈接結構導出的線性變換的不動點。

在邏輯學家索爾·阿倫·克里普克具有影響力的真相理論中，也運用了不動點的觀點。

保證不動點存在的定理

在數學的不同部分有很多定理保證函數、在一定的條件下，必定有一個或者更多的不動點。這些在最基本的定性結果當中，那些普遍性應用的不動點定理是非常具有價值的洞察。