哈爾測度

數學分析中，哈爾測度是賦予局域緊群（英語：Locally compact group）之子集一個「不變體積」並從而定義那些群上的函數的一個積分的一種方法。

這個測度由匈牙利數學家哈爾·阿爾弗雷德於1933年發明^[1] 。哈爾測度用於數學分析，數論，群論，表示論，估計理論和遍歷理論的很多方面。

預備知識

對於一個局域緊豪斯多夫拓撲群（G,・） ，其所有的緊子集生成的σ-代數被稱為博雷爾代數，博雷爾代數的元素即為博雷爾集。對於群G的元素g和子集S，可以定義S的左陪集和右陪集：

• 左陪集:

${\displaystyle gS=\{g.s\,:\,s\in S\}}$

• 右陪集:

${\displaystyle Sg=\{s.g\,:\,s\in S\}}$

博雷爾集的左/右陪集是博雷爾集。

對於一個作用於G的博雷爾子集上的測度μ，如果其對所有的博雷爾子集S和所有的g都滿足

${\displaystyle \mu (gS)=\mu (S).\quad }$

則稱這個測度μ是左不變的。相應可以定義右不變性。

哈爾定理

考慮G的博雷爾子集上的滿足如下性質的可數可加測度μ：

• 對任意的g和博雷爾子集E，μ是左變換不變的:

${\displaystyle \mu (gE)=\mu (E)}$

• 對所有的緊集K，μ是有限的:

${\displaystyle \mu (K)<\infty }$

• 在博雷爾集E上μ是外正則(outer regular)的:

${\displaystyle \mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,U{\text{ open and Borel}}\}}$

• 在開集E上μ是內正則(inner regular)的:

${\displaystyle \mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,K{\text{ compact}}\}}$

那麼如果要求這個測度是非平凡的，那麼它是唯一的——至多相差一個正因子。這個測度μ便被稱為左哈爾測度。 特別的，如果G是緊的，那麼μ(G)將是有限正值，進而總可以通過設定一歸一條件μ(G) = 1來唯一確定一個G上的左哈爾測度。

左哈爾測度對於所有的σ-有限博雷爾集都滿足內正則條件，但此條件卻未必對所有博雷爾集成立。

左哈爾測度的存在性和唯一性（相差一個因子的意義下）的首個完整證明是由André Weil^[2]給出。Weil的證明採用了選擇公理，之後Henri Cartan在避免使用此公理的情況下同樣完成了證明。1963年Alfsen對Cartan的論證給出了簡化而全面的表述。^[3]對於第二可數空間局部緊群的不變測度也於1933年被Haar證明。^[1]

右哈爾測度

同樣可以證明存在一個唯一（相差一個正因子的意義下）的右變換不變的博雷爾測度ν滿足上面的正則條件且在緊緻集合上有限，但並不要求它與左變換不變的哈爾測度μ相同。僅對於么模群(unimodular groups)左哈爾測度與右哈爾測度才相同。ν和μ之間也有些簡單的關係。

對一博雷爾集 S, 記其中每一個元素的逆的集合為${\displaystyle S^{-1}}$，如果定義

${\displaystyle \mu _{-1}(S)=\mu (S^{-1})\quad }$

那麼這個${\displaystyle \mu _{-1}}$便構成一個右哈爾測度。其右變換不變性表現如下：

${\displaystyle \mu _{-1}(Sg)=\mu ((Sg)^{-1})=\mu (g^{-1}S^{-1})=\mu (S^{-1})=\mu _{-1}(S).\quad }$

又因為右測度是唯一的，因此對於所有博雷爾集合S，μ_-1和ν相差一個正因子k，滿足：

${\displaystyle \mu (S^{-1})=k\nu (S)\,}$

哈爾積分

用通常的勒貝格積分理論，便可定義所有在G上博雷爾可測的函數f的積分。這個積分便是哈爾積分。

設μ是一個左哈爾測度，那麼對任一哈爾可積函數f與G中元素s，都有

${\displaystyle \int _{G}f(sx)\ d\mu (x)=\int _{G}f(x)\ d\mu (x).}$