哈爾測度

數學分析中，哈爾測度（Haar measure）是賦予局域緊緻拓撲群一個「不變體積」並從而定義那些群上的函數的一個積分的一種方法。

這個測度由匈牙利數學家哈爾·阿爾弗雷德於1933年發明^[1] 。哈爾測度用於數學分析，數論，群論，表示論，估計理論和遍歷理論的很多方面。

預備知識

對於一個局域緊緻豪斯多夫拓撲群（G,・） ，其所有的緊子集生成的σ-代數被稱為波萊爾代數（Borel algebra），波萊爾代數的元素即為波萊爾集。對於群G的元素g和子集S，可以定義S的左變換和右變換：

• 左變換:

${\displaystyle gS=\{g.s\,:\,s\in S\}}$

• 右變換:

${\displaystyle Sg=\{s.g\,:\,s\in S\}}$

左/右變換使波萊爾集映射為波萊爾集。

對於一個作用於G的波萊爾子集上的測量μ，如果對所有的波萊爾子集S和所有的g有

${\displaystyle \mu (gS)=\mu (S).\quad }$

則稱這個測度μ是左變換不變的。相應可以定義右變換不變性。

哈爾定理

在差一個正因子常數的情形下，如果G的波萊爾子集上的一個唯一可加的非平凡測度μ滿足如下性質：

• 對任意的g和波萊爾子集E，μ是左變換不變的:

${\displaystyle \mu (gE)=\mu (E)}$

• 對所有的緊緻集K，μ是有限的:

${\displaystyle \mu (K)<\infty }$

• 在波萊爾集E上μ是外部正則(outer regular)^[2]的:

${\displaystyle \mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,U{\text{ open and Borel}}\}}$

• 在波萊爾開集E上μ是內部正則(inner regular)的:

${\displaystyle \mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,K{\text{ compact}}\}}$

那麼這個G上的測度μ便被稱為左哈爾測度。 特別的，如果G是緊緻的那麼μ(G)是有限且正的，因此總可以通過設定一歸一條件μ(G) = 1，而G上唯一地指定一個左哈爾測度。

左哈爾測度對於所有的σ-有限波萊爾集都滿足內部正則條件，但此條件對所有波萊爾集卻不一定成立。

左哈爾測度的存在性和唯一性（相差一個因子的意義下）被André Weil^[3]第一次完整的證明。Weil的證明採用了選擇公理之後Henri Cartan在避免使用此公理的情況下同樣完成了證明。1963年Alfsen對Cartan的論證給出了簡化而全面的表述。^[4]對於第二可數空間局域緊緻群的不變測度也於1933年被Haar證明。^[1]

右哈爾測度

同樣可以證明存在一個唯一（相差一個正因子的意義下）的右變換不變的波萊爾測度ν滿足上面的正則條件且在緊緻集合上有限，但並不要求它與左變換不變的哈爾測度μ相同。僅對於么模群(unimodular groups)左哈爾測度與右哈爾測度才相同。ν和μ之間也有些簡單的關係。

對一個波萊爾群 S, 記其中每一個元素的逆的集合為${\displaystyle S^{-1}}$，如果定義

${\displaystyle \mu _{-1}(S)=\mu (S^{-1})\quad }$

那麼這個${\displaystyle \mu _{-1}}$便構成一個右哈爾測度。其右變換不變性表現如下：

${\displaystyle \mu _{-1}(Sg)=\mu ((Sg)^{-1})=\mu (g^{-1}S^{-1})=\mu (S^{-1})=\mu _{-1}(S).\quad }$

又因為右測度是唯一的，因此對於所有波萊爾集合S，μ_-1和ν相差一個正因子k，滿足：

${\displaystyle \mu (S^{-1})=k\nu (S)\,}$

哈爾積分(Haar integral)

由勒貝格積分理論，可以定義G上所有波萊爾測度方程f的積分。這個積分便是哈爾積分(Haar integral). 如果μ是一個左哈爾測度，那麼對任意一個方程f，都有

${\displaystyle \int _{G}f(sx)\ d\mu (x)=\int _{G}f(x)\ d\mu (x)}$