哈恩多項式

哈恩多項式（Hahn polynomials）是一個以德國數學家Wolfgang Hahn命名的正交多項式，由下列廣義超幾何函數定義：^[1]

哈恩多項式

${\displaystyle Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+\alpha +\beta +1;\alpha +1,-N+1;1).\ }$

前幾個哈恩多項式為

${\displaystyle h[5]:=1+27*x/(-4*\alpha -4)+3*x*\alpha /(-4*\alpha -4)+270*x^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))+57*x^{2}*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))-270*x/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))-57*x*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))+3*x^{2}*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))-3*x*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))+990*x^{3}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+299*x^{3}*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))-2970*x^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))-897*x^{2}*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+30*x^{3}*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))-90*x^{2}*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+1980*x/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+598*x*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+60*x*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+x^{3}*\alpha ^{3}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))-3*x^{2}*\alpha ^{3}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+2*x*\alpha ^{3}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))}$${\displaystyle h[6]:=1+27*x/(-5*\alpha -5)+3*x*\alpha /(-5*\alpha -5)+270*x^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))+57*x^{2}*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))-270*x/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))-57*x*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))+3*x^{2}*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))-3*x*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))+990*x^{3}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+299*x^{3}*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))-2970*x^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))-897*x^{2}*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+30*x^{3}*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))-90*x^{2}*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+1980*x/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+598*x*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+60*x*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+x^{3}*\alpha ^{3}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))-3*x^{2}*\alpha ^{3}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+2*x*\alpha ^{3}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9)).}$

正交性

對於${\displaystyle \alpha }$ > -1 和 ${\displaystyle \beta }$ > -1 以及 ${\displaystyle \alpha }$ < -N ${\displaystyle \beta }$ < -N,下列正交關係成立^[2]

${\displaystyle \sum _{x=0}^{N}{\alpha +x \choose x}}$${\displaystyle {\beta +N-x \choose N-x})*Q_{m}(x;\alpha ,\beta ,N)Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={\frac {(1)^{n}(n+\alpha +\beta +1)_{N+1}(\beta +1)_{n}*n!}{2n+\alpha +\beta +1)(\alpha +1)_{n}*(-N)_{n}*N!}}*\delta _{mn}}$

歸遞關係

哈恩多項式滿足下列歸遞關係^[3] ${\displaystyle -x*Q_{n}(x)}$=${\displaystyle A_{n}*Q_{n+1}(x)}$-${\displaystyle (A_{n}+C_{n})*Q_{n}(x)}$*${\displaystyle C_{n}*Q_{n-1}(x)}$

其中${\displaystyle Q_{n}(x)=Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)}$

極限關係

拉卡多項式→哈恩多項式^[4]

${\displaystyle \lim _{\delta \to \infty }R_{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,-N-1,\delta )=Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N),\,}$

哈恩多項式→雅可比多項式

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }Q_{n}(Nx;\alpha ,\beta ,N)={\frac {P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)}{P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)}}}$