唯一性定理 (泊松方程)

在高斯單位制，靜電學中的泊松方程的一般表達是

\mathbf {\nabla } \cdot (\epsilon \mathbf {\nabla } \varphi )=-\rho _{f}

其中 $\varphi$ 是電勢， $\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \varphi$ 是電場。

對於很大一部分的邊值條件，勢函數的梯度的唯一性（即電場的唯一性）可以如下證明。

反證，假設電勢有兩個解 $\varphi _{1}$ 和 $\varphi _{2}$ 。令 $\phi =\varphi _{2}-\varphi _{1}$ ，也就是兩個解的差。已知 $\varphi _{1}$ 和 $\varphi _{2}$ 均滿足泊松方程， $\phi$ 必須滿足

\mathbf {\nabla } \cdot (\epsilon \mathbf {\nabla } \phi )=0

應用一個恆等式

\nabla \cdot (\phi \epsilon \,\nabla \phi )=\epsilon \,(\nabla \phi )^{2}+\phi \nabla \cdot (\epsilon \,\nabla \phi )

注意到右邊第二項恆等於零，於是可以將方程改寫為

\mathbf {\nabla } \cdot (\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )=\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}

在邊值條件所確定的邊界內對體積進行積分

\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot (\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )d^{3}\mathbf {r} =\int _{V}\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\,d^{3}\mathbf {r}

應用散度定理，上式可以改寫為

\sum _{i}\int _{S_{i}}(\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )\cdot \mathbf {dS} =\int _{V}\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\,d^{3}\mathbf {r}

其中 $S_{i}$ 是邊值條件確定的曲面邊界。

由於 $\epsilon >0$ 且 ( ${\mathbf {\nabla } }\phi )^{2}\geq 0$ ，那麼當上式左邊的曲面積分等於零的時候， ${\mathbf {\nabla } }\phi$ 必須處處為零（即得 ${\mathbf {\nabla } }\varphi _{1}={\mathbf {\nabla } }\varphi _{2}$ )。

這就意味著，該方程的解的梯度是唯一確定的，若且唯若如下條件成立

\sum _{i}\int _{S_{i}}(\phi \epsilon \,\mathbf {\nabla } \phi )\cdot \mathbf {dS} =0

使得上式成立的邊值條件包括：

狄利克雷邊界條件： $\varphi$ 在曲面邊界有定義。因此 $\varphi _{1}=\varphi _{2}$ 。於是，在邊界任意位置 $\phi =0$ ，上式成立。
諾伊曼邊界條件： ${\mathbf {\nabla } }\varphi$ 在曲面邊界有定義。因此 ${\mathbf {\nabla } }\varphi _{1}={\mathbf {\nabla } }\varphi _{2}$ 。於是，在邊界任意位置 ${\mathbf {\nabla } }\phi =0$ ，上式成立。
修改過的諾伊曼邊界條件（也稱為羅賓邊界條件——其中假設邊界都是帶有已知電荷的導體）：只需在邊界應用高斯定律， ${\mathbf {\nabla } }\varphi$ 也是有定義的。因此，上式成立。
混合邊值條件（上述三個條件的組合）：唯一性定理仍然成立。

邊界曲面還可以是無窮遠的邊界（即所求的電勢所在的區域沒有邊界）。在這種情況下，只要上述的曲面積分等於零，唯一性定理仍然成立。舉個例子，當被積函數下降的速度比表面積快的時候，該積分趨近於零。

唯一性定理 (泊松方程)

證明

參看

參考文獻

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