四維頻率

在電磁學裏，平面電磁波的四維頻率 ${\displaystyle f^{\mu }}$ 以公式定義為

${\displaystyle f^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left(f,\,f\mathbf {n} \right)}$ ；

本條目中，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小則用 ${\displaystyle r\,\!}$ 來表示。四維向量用加有標號的斜體顯示。例如，${\displaystyle {x}^{\mu }\,\!}$或${\displaystyle {x}_{\mu }\,\!}$。為了避免歧意，四維向量的斜體與標號之間不會有括號。例如，${\displaystyle (x)^{2}\,\!}$表示${\displaystyle x\,\!}$平方；而${\displaystyle {x}^{2}\,\!}$是${\displaystyle {x}^{\mu }\,\!}$的第二個分量。

其中，${\displaystyle f}$ 是電磁波的頻率，${\displaystyle \mathbf {n} }$ 是朝著電磁波傳播方向的單位向量。

四維頻率與自己的內積永遠等於零：

${\displaystyle {f}^{\mu }{f}_{\mu }=(f)^{2}(1-n^{2})=0}$ 。

類似地，四維角頻率 ${\displaystyle \omega ^{\mu }}$ 以公式定義為

${\displaystyle \omega ^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left(\omega ,\,\omega \mathbf {n} \right)}$ ；

其中，${\displaystyle \omega }$ 是電磁波的角頻率。

顯然地，

${\displaystyle \omega ^{\mu }=2\pi f^{\mu }}$ 。

四維波向量 ${\displaystyle {k}^{\mu }}$ 與四維角頻率有密切的關係，定義為

${\displaystyle {k}^{\mu }=\left(k,\,\mathbf {k} \right)}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {k} }$ 是電磁波的波向量。

在本篇文章裏，閔可夫斯基度規的形式被規定為 ${\displaystyle diag(1,-1,-1,-1)}$ ，這是參考了約翰·傑克森（John D. Jackson）的著作《古典電動力學》中所採用的形式；並且使用了古典的張量代數以及愛因斯坦求和約定。

勞侖茲變換

給予兩個慣性參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 、${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ ；相對於參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ，參考系 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ 以速度 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 移動。對於這兩個參考系，相關的勞侖茲變換矩陣 ${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }}$ 是^[1]

${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta _{x}\,\gamma &-\beta _{y}\,\gamma &-\beta _{z}\,\gamma \\-\beta _{x}\,\gamma &1+(\gamma -1){\frac {\beta _{x}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{x}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{x}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\beta _{y}\,\gamma &(\gamma -1){\frac {\beta _{y}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\frac {\beta _{y}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{y}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\beta _{z}\,\gamma &(\gamma -1){\frac {\beta _{z}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{z}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\frac {\beta _{z}^{2}}{\beta ^{2}}}\\\end{bmatrix}}}$ ；

其中，${\displaystyle \gamma ={\cfrac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}}$ 是勞侖茲因子，${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}$ 是貝他因子，${\displaystyle \beta _{x}}$ 、${\displaystyle \beta _{y}}$ 、${\displaystyle \beta _{z}}$ 分別是參考系 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ 對於參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 的 x-軸、y-軸、z-軸方向的相對速度 ${\displaystyle v_{x}}$ 、${\displaystyle v_{y}}$ 、${\displaystyle v_{z}}$ 的貝他因子。

設定一個朝著 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$ 方向傳播於真空的平面電磁波，對於參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ，這平面電磁波以公式表達為

${\displaystyle \mathbf {E} =E_{0}e^{-i(k^{\mu }x_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}}$ 、

${\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}e^{-i(k^{\mu }x_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {E} }$ 、${\displaystyle \mathbf {B} }$ 分別是電磁波的電場、磁場，${\displaystyle E_{0}}$ 、${\displaystyle B_{0}}$ 分別是其波幅，${\displaystyle k^{\mu }}$ 是四維波向量，${\displaystyle x_{\mu }=(ct,-\mathbf {x} )}$ 是四維位置，${\displaystyle \mathbf {x} }$ 是位置，${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}}$ 、${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}}$ 分別垂直於 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$ ，而且 ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}={\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}}$ 。

那麼，對於參考系 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ ，這平面電磁波以公式表達為

${\displaystyle {\overline {\mathbf {E} }}={\overline {E}}_{0}e^{-i({\overline {k}}^{\mu }{\overline {x}}_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}}$ 、

${\displaystyle {\overline {\mathbf {B} }}={\overline {B}}_{0}e^{-i({\overline {k}}^{\mu }{\overline {x}}_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}}$ 。

四維波向量 ${\displaystyle {\overline {k}}^{\mu }}$ 與 ${\displaystyle {k}^{\mu }}$ 之間的關係為

${\displaystyle {\overline {k}}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }{k}^{\nu }}$ 。

經過一番運算，可以求得

${\displaystyle {\overline {k}}={\overline {k}}^{0}=\gamma (k-\beta _{x}k_{x}-\beta _{y}k_{y}-\beta _{z}k_{z})=k^{\mu }v_{\mu }/c}$ ；

其中，${\displaystyle v_{\mu }=(\gamma c,\,-\gamma \mathbf {v} )}$ 是參考系 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ 相對於參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 的四維速度，${\displaystyle \mathbf {v} }$ 是參考系 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ 相對於參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 的速度。

在真空裏，四維頻率與四維波向量之間的關係為

${\displaystyle f^{\mu }=ck^{\mu }/2\pi }$ 。

所以，

${\displaystyle {\overline {f}}={\overline {f}}^{0}=f^{\mu }v_{\mu }/c}$ 。

這也是參考系 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ 的觀察者所觀察到的頻率。

參閱

• 四維向量
• 電磁張量