圓外切梯形

在歐幾里得幾何中，圓外切梯形（英語：Tangential trapezoid，也稱為切線梯形）是指存在內切圓的梯形，或者說有一對邊平行的圓外切四邊形^[1]。存在圓外切等腰梯形和圓外切直角梯形等子類型。菱形、正方形也可以看成是是特殊的圓外切梯形。

皮托定理：
${\displaystyle {\begin{aligned}&|AB|+|CD|\\=&(a+b)+(c+d)\\=&(b+c)+(a+d)\\=&|BC|+|DA|\end{aligned}}}$

圓外切梯形

周長

根據皮托定理：圓外切四邊形對邊和相等，可得到圓外切梯形的兩腰長和與兩底長和相等，則周長 P 為^[2]

${\displaystyle \displaystyle P=2(a+b)=2(c+d)}$

其中a, b分別為梯形的上下底長，c, d為兩腰長。

另外，半周長為${\displaystyle s=a+b=c+d}$，中位線為${\displaystyle m=(a+b)/2=(c+d)/2}$。

面積

將上述由皮托定理得出的半周長${\displaystyle \displaystyle s=a+b=c+d}$代入梯形的半周長面積公式${\displaystyle S={\frac {a+b}{|b-a|}}{\sqrt {(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)}}}$，得到圓外切梯形的面積S為^[3]：

${\displaystyle S={\frac {a+b}{|b-a|}}{\sqrt {ab(a-c)(c-b)}}}$

其中a、b為兩底長，c為任意一腰長。

由於圓外切梯形的高與內切圓直徑相等，則由中位線面積公式可得：

${\displaystyle S=mh=mD=2mr=(a+b)r=(c+d)r}$

此外，設四條不同點出發的切線長為e, f, g, h，則面積為^[4]:p.129：

${\displaystyle S={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h)=s{\sqrt[{4}]{efgh}}}$

內切圓半徑

由四邊形內切圓半徑公式${\displaystyle r={\frac {S}{s}}}$，和上述兩個面積公式得到：

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {ab(a-c)(c-b)}}{|b-a|}}}$

${\displaystyle r={\sqrt[{4}]{efgh}}}$

更一般的，若e, f, g, h中，e, h、f, g分別是同一腰上的切線長，則根據梯形高與腰構成的直角三角形的勾股定理${\displaystyle (e+h)^{2}-(e-h)^{2}=4r^{2}=(f+g)^{2}-(f-g)^{2}}$得到^[5]：

${\displaystyle r={\sqrt {eh}}={\sqrt {fg}}}$

由此式能得到上述四切線長有關的半徑公式和面積公式。

圓外切直角梯形

底角為直角的圓外切梯形

圓外切直角梯形（英語：right tangential trapezoid）是指底角為直角的圓外切梯形，設其上下底長分別為a, b，則由皮托定理得出斜腰長${\displaystyle c=a+b-h=a+b-2r}$，由斜腰三角形勾股定理${\displaystyle (a+b-2r)^{2}=(2r)^{2}+(b-a)^{2}}$可得到內切圓半徑為^[2]：

${\displaystyle r={\frac {ab}{a+b}}}$

內切圓的直徑與梯形的高相等，為上下底的調和平均數，暨${\displaystyle D=h={\frac {2ab}{a+b}}}$

將上式代入梯形的面積公式${\displaystyle S={\frac {1}{2}}(a+b)h}$，可得出面積為兩底長之積^[2]：

${\displaystyle \displaystyle S=ab}$

同時，將上式代入斜腰三角形勾股定理${\displaystyle c^{2}=(2r)^{2}+(b-a)^{2}}$，可得到${\displaystyle c^{2}={\frac {(a^{2}+b^{2})^{2}}{(a+b)^{2}}}}$。

圓外切等腰梯形

兩腰相等的圓外切梯形一定是雙心四邊形

圓外切等腰梯形（英語：isosceles tangential trapezoid）是指兩腰相等的圓外切梯形，由於等腰梯形是一種圓內接四邊形，因此圓外切等腰梯形同時擁有內切圓和外接圓，暨圓外切等腰梯形屬於一類雙心四邊形，因此也稱為雙心梯形（英語：bicentric trapezoid）。

設兩底長為a, b，由皮托定理得出腰長為上下底的算術平均數，暨${\displaystyle c=(a+b)/2}$，通過勾股定理${\displaystyle ((a+b)/2)^{2}=(2r)^{2}+((a-b)/2)^{2}}$可得到內切圓半徑為^[6]：

${\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}}$

內切圓的直徑與梯形的高相等，為上下底的幾何平均數，暨${\displaystyle D=h={\sqrt {ab}}}$

因此，圓外切等腰梯形也可以作為均值不等式中，算術平均數大於幾何平均數的幾何解釋。這一類問題也是日本算額中的常見問題。

將半徑代入圓外切四邊形面積公式${\displaystyle r={\frac {S}{s}}}$，可以得到圓外切等腰梯形的面積為^[7]：

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}(a+b)}$

另外，由均值不等式中，幾何平均數大於調和平均數可知，在兩底長a, b相同的情況下，圓外切等腰梯形的半徑、高、圓面積、梯形面積都大於圓外切直角梯形。

更一般的，在所有由相同a, b所構成的圓外切梯形中，圓外切等腰梯形的上述四者是最大的。暨e, f, g, h中，e, h、f, g分別是同一腰上的切線長，${\displaystyle e+f=a}$，${\displaystyle g+h=b}$，${\displaystyle r^{2}={\sqrt {efgh}}\leq {\tfrac {ab}{4}}}$，若且唯若e=f，g=h時取等於號，此時兩腰相等。