圓判據

圓判據（circle criterion）是非線性控制及穩定性理論中，針對非線性時變系統的穩定性判據。可以視為是針對線性時不變系統（LTI）的奈奎斯特穩定判據之擴展版本。

簡介

考慮一個線性系統，但有非線性的回授，也就是在回授路徑上有非線性元素${\displaystyle \varphi (v,t)}$，假設此元素滿足區間條件${\displaystyle [\mu _{1},\mu _{2}]}$（即${\displaystyle \mu _{1}v\leq \varphi (v,t)\leq \mu _{2}v,\ \forall v,t}$），而且（為了簡化系統）開迴路系統穩定。則閉迴路系統全域漸近穩定的條件是線性系統的尼奎斯特軌跡不會穿過以X軸上線段${\displaystyle [-1/\mu _{1},-1/\mu _{2}]}$為直徑的圓。

一般敘述

考慮非線性系統

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {Ax} +\mathbf {Bw} ,}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {Cx} ,}$

${\displaystyle \mathbf {w} =\varphi (v,t).}$

假設

1. ${\displaystyle \mu _{1}v\leq \varphi (v,t)\leq \mu _{2}v,\ \forall v,t}$
2. ${\displaystyle \det(i\omega I_{n}-A)\neq 0,\ \forall \omega \in R^{-1}{\text{ and }}\exists \mu _{0}\in [\mu _{1},\mu _{2}]\,:\,A+\mu _{0}BC}$ is stable
3. ${\displaystyle \Re \left[(\mu _{2}C(i\omega I_{n}-A)^{-1}B-1)(1-\mu _{1}C(i\omega I_{n}-A)^{-1}B)\right]<0\ \forall \omega \in R^{-1}.}$

則存在${\displaystyle \exists c>0,\delta >0}$使得針對系統的任意解，下式都成立；

${\displaystyle |x(t)|\leq ce^{-\delta t}|x(0)|,\ \forall t\geq 0.}$

條件3稱為「頻率條件」，條件1稱為「區間條件」。

相關條目

• 波波夫判據

參考資料

• Haddad, Wassim M.; Chellaboina, VijaySekhar. Nonlinear Dynamical Systems and Control: a Lyapunov-Based Approach.. Princeton University Press. 2011. ISBN 9781400841042.

外部連結

• Sufficient Conditions for Dynamical Output Feedback Stabilization via the Circle Criterion
• Popov and Circle Criterion (Cam UK)（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Popov and Circle Criterion (ETH)
• Stability analysis using the circle criterion in Mathematica（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）