平方平均數

平方平均數^[1][2]（quadratic mean，${\displaystyle M_{2}}$）或二次均值^[3]，又稱均方根^[4]（root mean square，RMS，RMS，rms）或方均根^[5][6]，是一組平方值的均值的平方根。其具體操作是將 n個項的平方和，先除以n後，再開平方的結果^[7]。

「均方根」即「均方的平方根」，此處「均方」是指一組數字平方的算術平均數^[8]，均方根是2次方的廣義平均數的表達式，也可叫做2次冪平均數。

計算公式

均方根的計算公式是：

${\displaystyle M={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2} \over n}}={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2} \over n}}}$

在連續函數${\displaystyle {\begin{smallmatrix}f(x)\end{smallmatrix}}}$的區間${\displaystyle {\begin{smallmatrix}[a,b]\end{smallmatrix}}}$內，其均方根定義為：

${\displaystyle f_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {b-a}}{\int _{a}^{b}{[f(x)]}^{2}\,dx}}}}$

應用

均方根常用來計算一組數據和某個數據的「平均差」。像交流電的電壓、電流數值以及均勻加速直線運動的位移中點平均速度，都是以其實際數值的均方根表示。例如「220 V交流電」表示電壓訊號的均方根（又稱為有效值）為220 V，此為交流電瞬時值（瞬時值又稱暫態值）的最大值（峰值）的${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$。

另外，統計學中的標準差 ${\displaystyle {\bar {s}}}$，就是所有數據${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$和平均值 ${\displaystyle {\bar {x}}}$相減後的數據

${\displaystyle x_{1}-{\bar {x}},x_{2}-{\bar {x}},...,x_{n}-{\bar {x}}}$

的均方根

${\displaystyle {\bar {s}}={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n}}}}$

適用模型

均方根值並非所有模型均適用，只有在數值分佈呈現常態分佈時才適用。如果分佈呈現方波、三角波，就要用其他的公式，否則失真會很大。

參見

• 算術平均數
• 幾何平均數
• 調和平均數
• 算術-幾何平均數
• 平均數不等式
• 最小二乘法
• 均方差
• 數學符號表