均方誤差

在統計學中，平均平方誤差（mean-square error，MSE^[1]）或均方誤差^[2][3]，又稱均方偏差^[4][5]（mean-square deviation，MSD）、均方差^[6][7]，是預測值或估計值與真實值的差異平方的均值。均方誤差越小說明模型的預測或者母數的估計精度越準確。

提示：此條目的主題不是均方根誤差。

計算公式

對於無法觀察的母數${\displaystyle \theta }$的一個估計函數T；其定義為：

${\displaystyle \operatorname {MSE} (T)=\operatorname {E} ((T-\theta )^{2}),}$

即，它是「誤差」的平方的期望值。誤差就是估計值與被估計量的差。均方誤差滿足等式

${\displaystyle \operatorname {MSE} (T)=\operatorname {var} (T)+(\operatorname {bias} (T))^{2}}$

其中

${\displaystyle \operatorname {bias} (T)=\operatorname {E} (T)-\theta ,}$

也就是說，偏差${\displaystyle \operatorname {bias} (T)}$是估計函數的期望值與那個無法觀察的母數的差。

下邊是一個具體例子。假設

${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}\sim \operatorname {N} (\mu ,\sigma ^{2}),}$

即${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$是一組來自常態分布的樣本。常用的兩個對σ²估計函數為：

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\,\right)^{2}\ }$　和　${\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\,\right)^{2}}$

其中

${\displaystyle {\overline {X}}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n}$

為樣本均值。

第一個估計函數為最大概似估計，它是偏誤的，即偏差不為零，但是它的變異數比第二個小。而第二個估計函數是不偏的。較大的變異數某種程度上補償了偏差，因此第二個估計函數的均方誤差比第一個要大。

另外，這兩個估計函數的均方誤差都比下邊這個偏誤估計函數大：${\displaystyle {\frac {1}{n+1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\,\right)^{2}}$

這個估計函數使得形如${\displaystyle c\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\,\right)^{2}}$（其中c是常數）的均方誤差最小。

參見

• 圖像壓縮
• 視訊壓縮
• 平均百分比誤差（英語：Mean percentage error）
• 均方量化誤差（英語：Mean square quantization error）
• 加權均方誤差（英語：Mean square weighted deviation）
• 均方偏移（英語：Mean squared displacement）
• 均方預測誤差（英語：Mean squared prediction error）
• 最小均方誤差
• 過適
• 峰值信噪比