埃爾德什-莫德爾不等式

在幾何學中，埃爾德什-莫德爾不等式是一個二十世紀初期發現的不等式。埃爾德什-莫德爾不等式說明了：對於任何三角形ABC和其內部的一點O，點O到三角形三條邊的距離之和總是小於或等於點O到三角形的三個頂點的距離之和的一半。

如圖，埃爾德什-莫德爾不等式說明點O到三個頂點的距離之和（綠色線段）大於或等於到三邊距離之和（藍色線段）的兩倍

埃爾德什-莫德爾不等式可以認為是幾何學中的歐拉定理的一個推廣。歐拉定理聲稱三角形外接圓的半徑總是大於或等於內切圓半徑的兩倍。

歷史

該不等式最早由埃爾德什在1935年在《美國數學月刊》上提出，作為第3740號問題。兩年之後，由路易斯·莫德爾和D.F.巴羅證明。1957年，卡扎里諾夫提出了一個更簡捷的證明^[1]。之後不斷有更簡潔、更基本的證明出現。1958年班考夫（Bankoff）給出了運用正交投影和相似三角形的證明，1997年和2004年出現了使用面積不等式的證明，1993年和2001年發現了根據托勒密定理的證明。

證明

如右圖，O為三角形ABC中的一個點。O到三角形三邊的垂線分別交三條邊於D、E、F。設線段${\displaystyle OA}$、${\displaystyle OB}$、${\displaystyle OC}$的長度分別是${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、${\displaystyle z}$，線段${\displaystyle OD}$、${\displaystyle OE}$、${\displaystyle OF}$的長度分別是${\displaystyle p}$、${\displaystyle q}$、${\displaystyle r}$，那麼埃爾德什-莫德爾不等式為：

${\displaystyle x+y+z\geq 2(p+q+r)}$

一個初等的證明方式是使用三角函數以及均值不等式。

首先，由於${\displaystyle OF}$垂直於${\displaystyle AF}$，${\displaystyle OE}$垂直於${\displaystyle AE}$，A、F、O、E四點共圓且${\displaystyle OA}$為直徑，因此線段${\displaystyle \displaystyle EF=OA\sin A=x\sin A}$（角A為頂點A對應的內角）。

過點F、E作關於${\displaystyle BC}$的垂線交${\displaystyle BC}$於X、Y。過O作${\displaystyle BC}$的平行線分別交${\displaystyle FX}$、${\displaystyle EY}$於${\displaystyle U}$、${\displaystyle V}$。由於${\displaystyle OF}$垂直於${\displaystyle AF}$，${\displaystyle OE}$垂直於${\displaystyle AE}$，${\displaystyle \angle UFO=\angle B}$，${\displaystyle \angle VEO=\angle C}$。於是：

${\displaystyle UV=UO+OV=OF\sin \angle UFO+OE\sin \angle VEO=r\sin B+q\sin C}$

另一方面，注意到在直角梯形中${\displaystyle FUVE}$中，斜腰${\displaystyle EF}$的長度大於等於直角腰${\displaystyle UV}$。因此：

${\displaystyle x\sin A=EF\geq UV=r\sin B+q\sin C}$

${\displaystyle x\geq r{\frac {\sin B}{\sin A}}+q{\frac {\sin C}{\sin A}}}$

類似地，還有：

${\displaystyle y\geq r{\frac {\sin A}{\sin B}}+p{\frac {\sin C}{\sin B}}}$，${\displaystyle z\geq p{\frac {\sin B}{\sin C}}+q{\frac {\sin A}{\sin C}}}$

三式相加，得到：

${\displaystyle x+y+z\geq r\left({\frac {\sin B}{\sin A}}+{\frac {\sin A}{\sin B}}\right)+q\left({\frac {\sin C}{\sin A}}+{\frac {\sin A}{\sin C}}\right)+p\left({\frac {\sin C}{\sin B}}+{\frac {\sin B}{\sin C}}\right)}$

根據算幾不等式，${\displaystyle \left({\frac {\sin B}{\sin A}}+{\frac {\sin A}{\sin B}}\right)\geq 2}$，等等，於是最終得到：

${\displaystyle x+y+z\geq 2(p+q+r)}$

這就是埃爾德什-莫德爾不等式。

從證明中可以看到，等號取得的充要條件是${\displaystyle \sin A=\sin B=\sin C}$以及${\displaystyle {\overline {OA}}\perp {\overline {EF}},{\overline {OB}}\perp {\overline {FD}},{\overline {OC}}\perp {\overline {DE}}}$，也就是說不等式中的等號成立若且唯若三角形是等邊三角形以及${\displaystyle P}$為三角形中心。