塞弗特-范坎彭定理

代數拓撲中的塞弗特－范坎彭（Seifert–van Kampen）定理，將一個拓撲空間的基本群，用覆蓋這空間的兩個開且路徑連通的子空間的基本群來表示。

定理敍述

設${\displaystyle X}$為拓撲空間，有兩個開且路徑連通的子空間${\displaystyle U_{1},U_{2}}$覆蓋${\displaystyle X}$，即${\displaystyle X=U_{1}\cup U_{2}}$，並且${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}}$是非空且路徑連通。取${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}}$中的一點${\displaystyle x_{0}}$為各空間的基本群的基點。那麼從${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}}$到${\displaystyle U_{1}}$及${\displaystyle U_{2}}$的包含映射導出相應基本群的群同態：（以下省略基本群中的基點。）

${\displaystyle \phi _{1}:\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})\to \pi _{1}(U_{1})}$

${\displaystyle \phi _{2}:\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})\to \pi _{1}(U_{2})}$

塞弗特－范坎彭定理指出${\displaystyle X}$的基本群，是${\displaystyle U_{1},U_{2}}$的基本群的共合積：

${\displaystyle \pi _{1}(X)=\pi _{1}(U_{1})*_{\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})}\pi _{1}(U_{2})}$

用範疇論來說，${\displaystyle \pi _{1}(X)}$是在群範疇中圖表

${\displaystyle \pi _{1}(U_{1})\leftarrow {\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})}\rightarrow \pi _{1}(U_{2})}$

的推出。

這定理可以推廣至${\displaystyle X}$的任意多個開子空間的覆蓋： 設

• ${\displaystyle X}$為路徑連通拓撲空間，${\displaystyle x_{0}}$為${\displaystyle X}$的一點，
• ${\displaystyle \{U_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}$由路徑連通的開集組成，為${\displaystyle X}$的開覆蓋，
• 任何一個${\displaystyle U_{\lambda }}$都有點${\displaystyle x_{0}}$，
• 對任何${\displaystyle \lambda ,\mu \in \Lambda }$，都有${\displaystyle \nu \in \Lambda }$，使得${\displaystyle U_{\lambda }\cap U_{\mu }=U_{\nu }}$。

當${\displaystyle U_{\lambda }\subset U_{\mu }}$，令

${\displaystyle \phi _{\lambda \mu }:\pi _{1}(U_{\lambda })\to \pi _{1}(U_{\mu })}$

為由包含所導出的群同態。又令

${\displaystyle \psi _{\lambda }:\pi _{1}(U_{\lambda })\to \pi _{1}(X)}$

為由${\displaystyle U_{\lambda }\subset X}$所導出的群同態。那麼${\displaystyle \pi _{1}(X)}$有下述的泛性質：

設${\displaystyle H}$為群，對所有${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$有群同態${\displaystyle \rho _{\lambda }:\pi _{1}(U_{\lambda })\to H}$，使得若${\displaystyle U_{\lambda }\subset U_{\mu }}$，則

${\displaystyle \rho _{\mu }\circ \phi _{\lambda \mu }=\rho _{\lambda }}$。

那麼存在唯一的群同態${\displaystyle \sigma :\pi _{1}(X)\to H}$，使得對所有${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$，都有

${\displaystyle \rho _{\lambda }=\sigma \circ \psi _{\lambda }}$。

這個泛性質決定唯一的${\displaystyle \pi _{1}(X)}$。（不別群同構之異。）

參考

• Massey, William. A Basic Course in Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics 127. Springer-Verlag. 1991.