塞瓦定理

塞瓦線，或稱為賽瓦線段是各頂點與其對邊或對邊延長線上的一點連接而成的直線段。塞瓦定理（英語：Ceva's theorem）指出：如果${\displaystyle \triangle ABC}$的塞瓦線段${\displaystyle {\overline {AD}}}$ 、${\displaystyle {\overline {BE}}}$、${\displaystyle {\overline {CF}}}$ 通過同一點${\displaystyle O}$，則

${\displaystyle {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\cdot {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}=1}$

三條線段的交點O 位於三角形ABC的內部

三條線段的交點O 位於三角形ABC的外部

它的逆定理同樣成立：若${\displaystyle D}$、${\displaystyle E}$、${\displaystyle F}$分別在${\displaystyle \triangle ABC}$的邊${\displaystyle {\overline {BC}}}$、${\displaystyle {\overline {CA}}}$、${\displaystyle {\overline {AB}}}$或其延長線上（都在邊上或有兩點在延長線上），且滿足

${\displaystyle {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\cdot {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}=1}$，

則直線${\displaystyle {\overline {AD}}}$、${\displaystyle {\overline {BE}}}$、${\displaystyle {\overline {CF}}}$共點或彼此平行（於無限遠處共點）。當${\displaystyle {\overline {AD}}}$、${\displaystyle {\overline {BE}}}$、${\displaystyle {\overline {CF}}}$中的任意兩直線交於一點時，則三直線共點；當${\displaystyle {\overline {AD}}}$、${\displaystyle {\overline {BE}}}$、${\displaystyle {\overline {CF}}}$中的任意兩直線平行時，則三直線平行。

它最先由義大利數學家喬瓦尼·塞瓦證明，因而得名。此定理又譯西瓦定理或帥氏定理。

證明

設 h = A 到 ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ 的距離

${\displaystyle \triangle ABD}$ 的面積 = ${\displaystyle (1/2)\cdot h\cdot {\overline {BD}}}$

${\displaystyle \triangle ADC}$ 的面積 = ${\displaystyle (1/2)\cdot h\cdot {\overline {DC}}}$

${\displaystyle \therefore \triangle ABD}$ 的面積 / ${\displaystyle \triangle ADC}$ 的面積 = ${\displaystyle {\overline {BD}}/{\overline {DC}}}$

${\displaystyle \because \quad {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle ABD}}{\mathrm {S} _{\triangle ADC}}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle OBD}}{\mathrm {S} _{\triangle ODC}}}.}$

由等比性質,

${\displaystyle {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle ABD}-\mathrm {S} _{\triangle OBD}}{\mathrm {S} _{\triangle ADC}-\mathrm {S} _{\triangle ODC}}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle ABO}}{\mathrm {S} _{\triangle CAO}}}.}$

同理 ${\displaystyle {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle BCO}}{\mathrm {S} _{\triangle ABO}}},\;{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle CAO}}{\mathrm {S} _{\triangle BCO}}}.}$

${\displaystyle \therefore \quad {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\cdot {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle ABO}}{\mathrm {S} _{\triangle CAO}}}\cdot {\frac {\mathrm {S} _{\triangle BCO}}{\mathrm {S} _{\triangle ABO}}}\cdot {\frac {\mathrm {S} _{\triangle CAO}}{\mathrm {S} _{\triangle BCO}}}=1.}$

證畢。^[1][2]

推論：角平分線定理

在三角形${\displaystyle ABC}$中，${\displaystyle \angle A}$的角平分線交${\displaystyle {\overline {BC}}}$於${\displaystyle D}$，${\displaystyle {\frac {\overline {DB}}{\overline {DC}}}={\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}}$。