外爾方程式

在量子力學及量子場論等領域，外爾方程式（英語：Weyl Equation）為一相對論量子力學的波動方程式，用以描述無質量的自旋½粒子。其以德國數學家赫爾曼·外爾為名。

方程式

外爾方程式的廣義形式可寫為：^[1][2]

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

在SI單位中可寫為：

${\displaystyle I_{2}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0}$

其中

${\displaystyle \sigma _{\mu }=(\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=(I_{2},\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$

為一向量。μ = 0分量為2 × 2 單位矩陣；μ = 1,2,3分量為包立矩陣。ψ則是波函數，為外爾旋量一例。

外爾旋量

其組成有ψ_L與ψ_R，分別為左手（Left-handed）外爾旋量及右手（Right-handed）外爾旋量，各自有兩個分量。兩者皆有下列形式：

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\end{pmatrix}}=\chi e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=\chi e^{-i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$

其中

${\displaystyle \chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\\\end{pmatrix}}}$

為具有二常數分量之旋量。

既然粒子是不具質量的，亦即m = 0，動量p的範數為波向量k的簡單乘積，由德布羅伊關係所描述：

${\displaystyle |\mathbf {p} |=\hbar |\mathbf {k} |=\hbar \omega /c\,\rightarrow \,|\mathbf {k} |=\omega /c}$

方程式可以左手及右手旋量來表示：

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}=0\\&{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{L}=0\end{aligned}}}$

推演

透過拉格朗日密度可得方程式：

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi _{R}^{\dagger }\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi _{L}^{\dagger }{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{L}}$

將旋量及旋量的埃爾米特伴隨（以${\displaystyle \dagger }$標記）當作獨立變數處理，則可得外爾方程式。

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