外積 (張量積)

外積（英語：outer product），在線性代數中一般指兩個向量的張量積，其結果為一矩陣；與外積相對，兩向量的內積結果為純量。

關於其他常稱作外積的相關二元運算，參閱外積。

外積也可視作是矩陣的克羅內克積的一種特例。注意到：一些作者將「張量的外積」作為張量積的同義詞。

矩陣乘法定義

向量的外積是矩陣的克羅內克積的特殊情況。

給定${\displaystyle m\times 1}$ 列向量${\displaystyle \mathbf {u} }$和${\displaystyle 1\times n}$ 行向量${\displaystyle \mathbf {v} }$，它們的外積${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$被定義為${\displaystyle m\times n}$矩陣${\displaystyle \mathbf {A} }$，結果出自

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} =\mathbf {u} \mathbf {v} }$

這裡的張量積就是向量的乘法。

使用坐標：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\b_{4}\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{2}b_{1}&a_{3}b_{1}\\a_{1}b_{2}&a_{2}b_{2}&a_{3}b_{2}\\a_{1}b_{3}&a_{2}b_{3}&a_{3}b_{3}\\a_{1}b_{4}&a_{2}b_{4}&a_{3}b_{4}\end{bmatrix}}}$

對於複數向量，習慣使用${\displaystyle \mathbf {v} }$的複共軛(指示為${\displaystyle {\bar {\mathbf {v} }}}$)，因為人們把行向量認為是對偶空間的複共軛向量空間的元素：

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} =\mathbf {u} {\bar {\mathbf {v} }}}$

如果${\displaystyle \mathbf {v} }$是列向量，定義變為：

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{*}}$

這裡的${\displaystyle \mathbf {v} ^{*}}$是${\displaystyle \mathbf {v} }$的共軛轉置。

相對於外積

如果${\displaystyle \mathbf {v} }$是列向量，而且m = n，則可以採用其他方式的積，生成一個純量(或${\displaystyle 1\times 1}$矩陣):

${\displaystyle \left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \right\rangle =\left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \right\rangle =\mathbf {v} \mathbf {u} }$

它是歐幾里得空間的標準內積，常叫做點積。

抽象定義

給定向量${\displaystyle v\in V}$和余向量${\displaystyle w^{*}\in W^{*}}$，張量積${\displaystyle v\otimes w^{*}}$給出映射${\displaystyle A\colon W\to V}$，在同構${\displaystyle \mathrm {Hom} (W,V)=W^{*}\otimes V}$之下。

具體的說，給定${\displaystyle w\in W}$，

${\displaystyle A(w):=w^{*}(w)v}$

這裡的${\displaystyle w^{*}(w)}$是${\displaystyle w^{*}}$在w上的求值，它生成一個純量，接著乘v。

可作為替代，它是${\displaystyle w^{*}\colon W\to K}$與${\displaystyle v\colon K\to V}$的複合。

如果${\displaystyle W=V}$，則還可以配對${\displaystyle w^{*}(v)}$，這是內積。

參見

• 內積
• 叉積
• 張量積