多卷波混沌吸引子

多卷波混沌吸引子（N scroll chaotic attractor）也稱N卷波吸引子，是實際混沌電路（一般而言，是蔡氏電路）加上一個非線性電阻（例如蔡氏二極體（英語：Chua's Diode））而產生的奇異吸引子。多卷波混沌吸引子可以用三個非線性常微分方程以及三段的片段連續線性方程來描述。這可以簡化系統的數值模擬，也因為蔡氏電路的設計簡單，也很容易實作。

多卷波混沌吸引子在保密數碼通訊，同步預測等方面有重要應用。

超混沌陳氏吸引子

陳氏系統： ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=a*(y(t)-x(t)),}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y(t)}{\mathrm {d} t}}=(c-a)*x(t)-x(t)*f+c*y(t),}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} z(t)}{\mathrm {d} t}}=x(t)*y(t)-b*z(t)}$

其中 ${\displaystyle f}$ 為調控函數：^[1]

正弦調控函數

51 frame N scroll modified Chen attractor x axe vs t

${\displaystyle f=g*z(t)-h*\sin(z(t))}$

參數：

:= a = 35, c = 28, b = 3, g = 1, h = -25..25;

初始條件：

initv := x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 14;

利用Maple中龍格－庫塔-菲爾伯格法（英語：Runge–Kutta–Fehlberg method）（Runge–Kutta–Fehlberg法，簡稱 RKF45）可得數字解並做圖。

h	卷波數
5	4
8	6
22	14

延時正弦函數

N scroll attractor based on Chen with sine and tau

${\displaystyle f=d0*z(t)+d1*z(t-\tau )-d2*\sin(z(t-\tau ))}$

參數：

params := a = 35, c = 28, b = 3, d0 = 1, d1 = 1, d2 = -20..20, tau = .2;

初始條件：

initv := x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 14;

利用Maple中龍格－庫塔-菲爾伯格法（Runge–Kutta–Fehlberg法，簡稱 RKF45）可得數字解並做圖。

超混沌蔡氏吸引子

2001年Tang等提出改進的蔡氏吸引子系統：.^[2]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=\alpha *(y(t)-h)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y(t)}{\mathrm {d} t}}=x(t)-y(t)+z(t)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} z(t)}{\mathrm {d} t}}=-\beta *y(t)}$

其中

${\displaystyle h:=-b*sin({\frac {\pi *x(t)}{2*a}}+d)}$

參數：

params := alpha = 10.82, beta = 14.286, a = 1.3, b = .11, c = 7, d = 0;

初始條件：

initv := x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 0;

利用Maple中龍格－庫塔-菲爾伯格法（Runge–Kutta–Fehlberg法，簡稱 RKF45）可得數字解並做圖：

9 卷波 超混沌蔡氏吸引子

9 卷波 超混沌蔡氏吸引子

延齡草型混沌吸引子

延齡草型混沌吸引子

1993年 Miranda & Stone 提出下列方程組：^[3]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=1/3*(-(a+1)*x(t)+a-c+z(t)*y(t))+((1-a)*(x(t)^{2}-y(t)^{2})+(2*(a+c-z(t)))*x(t)*y(t))}$${\displaystyle *{\frac {1}{3*{\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y(t)}{\mathrm {d} t}}=1/3*((c-a-z(t))*x(t)-(a+1)*y(t))+((2*(a-1))*x(t)*y(t)+(a+c-z(t))*(x(t)^{2}-y(t)^{2}))}$${\displaystyle *{\frac {1}{3*{\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} z(t)}{\mathrm {d} t}}=1/2*(3*x(t)^{2}*y(t)-y(t)^{3})-b*z(t)}$

參數：${\displaystyle a=10,\quad b={\frac {8}{3}},\quad c={\frac {137}{5}}}$

初始條件：${\displaystyle x(0)=-8,\quad y(0)=4,\quad z(0)=10}$

利用Maple中龍格－庫塔-菲爾伯格法（Runge–Kutta–Fehlberg法，簡稱 RKF45）可得數字解並做圖：

PWL 杜芬混沌吸引子

2000年Aziz Alaoui 提出 PWL Duffing 方程：^[4]。

PWL 杜芬方程：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=y(t)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y(t)}{\mathrm {d} t}}=-m1*x(t)-(1/2*(m0-m1))*(|x(t)+1|-|x(t)-1|)-e*y(t)+\gamma *cos(\omega *t)}$

參數：

params := e = .25, gamma = .14+(1/20)*i, m0 = -0.845e-1, m1 = .66, omega = 1; c := (.14+(1/20)*i)，i=-25..25;

初始條件：

initv := x(0) = 0, y(0) = 0;

利用Maple中龍格－庫塔-菲爾伯格法（Runge–Kutta–Fehlberg法，簡稱 RKF45）可得數字解並做圖：

PWL Duffing chaotic attractor xy plot

PWL Duffing chaotic attractor plot