多重指標

多重指標是數學中一種方便的表示法，它將指標中的單個整數推廣為多個整數，它可以簡化多元微積分、偏微分方程與分佈理論中的計算，也便於操作冪級數。

定義與運算

一個${\displaystyle n}$-維多重指標是一個由整數構成的向量

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

設${\displaystyle \alpha ,\beta }$為多重指標，定義：

${\displaystyle \alpha \pm \beta :=(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}$

${\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i}$

${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$

應用最廣的是非負的多重指標，此時可以定義：

${\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}$

${\displaystyle {\alpha \choose \beta }={\frac {\alpha !}{(\alpha -\beta )!\,\beta !}}={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\cdots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}}$（假設${\displaystyle \alpha \geq \beta }$）

設${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$，定義${\displaystyle \mathbf {x} ^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$

${\displaystyle D^{\alpha }:=D_{1}^{\alpha _{1}}D_{2}^{\alpha _{2}}\ldots D_{n}^{\alpha _{n}}}$其中${\displaystyle D_{i}^{j}:=\partial ^{j}/\partial x_{i}^{j}}$

命題。若${\displaystyle i,k}$是非負的${\displaystyle n}$維多重指標，且${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$，則

${\displaystyle D^{i}x^{k}={\begin{cases}{\frac {k!}{(k-i)!}}x^{k-i}&i\leq k\\0&i\nleq k\end{cases}}}$

按定義直接操作即可證明。

應用

多元微積分

多重指標可以將單變元微積分的許多結果直接推廣到多變元。以下是幾個例子：

多元冪級數：有兩個以上變元的冪級數通常寫成

${\displaystyle s(\mathbf {x} )=\sum _{I}a_{I}\mathbf {x} ^{I}}$

其中${\displaystyle I}$是${\displaystyle n}$-維多元指標而${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$，以簡化冗長的表法

${\displaystyle s(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}}a_{i_{1}\ldots i_{n}}x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$

多項展開

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}^{}{{\frac {k!}{\alpha !}}\,\mathbf {x} ^{\alpha }}}$

萊布尼茨公式：設${\displaystyle u,v}$存在夠高階的導數，則

${\displaystyle D^{\alpha }(uv)=\sum _{\nu \leq \alpha }^{}{{\alpha \choose \nu }D^{\nu }u\,D^{\alpha -\nu }v}}$

泰勒展開式：對一多元解析函數f，當${\displaystyle |\mathbf {h} |}$充分小時有下述展開

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {h} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {D^{\alpha }f(\mathbf {x} )}{\alpha !}}\mathbf {h} ^{\alpha }}$

其實這不外是定義，多元指標在此提供了簡練的表示法。

對於存在夠高階導數的函數，我們也有帶餘項的泰勒展開式：

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {h} )=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {D^{\alpha }f(\mathbf {x} )}{\alpha !}}\mathbf {h} ^{\alpha }}+R_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )}$

其中的最後一項（餘項）有多種表法，例如柯西的積分表法：

${\displaystyle R_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {\mathbf {h} ^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}D^{\alpha }f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\,dt}$

偏微分算子

一個形式上的${\displaystyle n}$變元${\displaystyle N}$-階偏微分算子能以多重指標寫成

${\displaystyle P(D)=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)D^{\alpha }}}$

分部積分：對有界定義域${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$上的緊支集光滑函數，我們有

${\displaystyle \int _{\Omega }{}{u(D^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(D^{\alpha }u)v\,dx}}$

此公式用以定義分佈與弱導數。

文獻

• Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9

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