奢侈數

奢侈數（英語：Extravagant number）也稱為浪費數（英語：Wasteful number），是指一正整數質因數分解（包括指數）的總位數大於整數本身的位數^[1]。例如在十進位中，4 = 2²，6 = 2×3，8 = 2³，9 = 3²，質因數分解的總位數都比整數位數多，因此都是奢侈數。

前幾個奢侈數為：

4, 6, 8, 9, 12, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 33, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100（OEIS數列A046760）

任何進制下都可以定義奢侈數，而且不論在哪一種進制，都存在無限多個奢侈數^[1]。

數學定義

令${\displaystyle b>1}$為進制的數字，${\displaystyle K_{b}(n)=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ 為自然數${\displaystyle n}$在${\displaystyle b}$進制下的位數。自然數${\displaystyle n}$的質數分解為n

${\displaystyle n=\prod _{\stackrel {p\,\mid \,n}{p{\text{ prime}}}}p^{v_{p}(n)}}$

其中${\displaystyle v_{p}(n)}$是${\displaystyle n}$的P進賦值，則${\displaystyle n}$在${\displaystyle b}$進制下為奢侈數，若

${\displaystyle K_{b}(n)<\sum _{\stackrel {p\,\mid \,n}{p{\text{ prime}}}}K_{b}(p)+\sum _{\stackrel {p^{2}\,\mid \,n}{p{\text{ prime}}}}K_{b}(v_{p}(n)).}$

相關條目

• 等數位數：質因數分解（包括指數）總位數等於整數本身位數的正整數。
• 節儉數：質因數分解（包括指數）總位數小於整數本身位數的正整數。