孿生質數猜想

孿生質數猜想（英語：Twin prime conjecture）是數論中的一個未解決問題。這個猜想正式由大衛·希爾伯特在1900年國際數學家大會的報告上第8個問題中提出，可以這樣描述：

存在無窮多個質數p，使得p + 2是質數。

其中，質數對(p, p + 2)稱為孿生質數。

在1849年，阿爾方·德·波利尼亞克提出了一般的猜想：對所有自然數k，存在無窮多個質數對(p, p + 2k)。k = 1的情況就是孿生質數猜想。

哈代-李特爾伍德猜測

1921年，英國數學家戈弗雷·哈羅德·哈代和約翰·恩瑟·李特爾伍德提出了以下的猜想：設 ${\displaystyle \pi _{2}(N)}$ 為前N個自然數裡孿生質數的個數。那麼

${\displaystyle \pi _{2}(N)\approx \int _{2}^{N}{\frac {\mathrm {d} t}{(\ln t)^{2}}}\approx 2C_{twin}\ {\frac {N}{\ln ^{2}N}}}$

其中的常數${\displaystyle C_{twin}}$是所謂的孿生質數常數：

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{twin}&=\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{4^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{6^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{10^{2}}}\right)\cdots \ =\prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\\&=0.6601618158468695739278121\ldots \end{aligned}}}$

其中的p表示質數。

最新進展

2013年5月14日，《自然》雜誌報道，數學家張益唐證明「給定任何正整數M，一定找得到相鄰質數P、Q皆大於M，使得P跟Q的差距小於七千萬」^[1]，可以用數式表示為

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})<7\times 10^{7}}$

此處「${\displaystyle p_{n}}$」是第n個質數，「${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}}$」是質數間隙。

他的工作是對Goldston–Graham–Pintz–Yıldırım^[2][3][4]的結果的重要改進。張益唐的論文已被《數學年刊》（Annals of Mathematics）於2013年5月21日接受^[a][5][6][7]。陶哲軒隨後開始了一個Polymath計畫（英語：Polymath Project），由網上志願者合作降低張益唐論文中的上限。^[8]截至2014年4月，即張益唐提交證明之後一年，上限已降至246。^[9]