安培力定律

在靜磁學裏，安培力定律專門描述兩條載流導線交互作用的吸引力或排斥力，又稱為安培力，是由載流導線的電流所產生的磁場（根據必歐-沙伐定律），與對方的移動電荷的速度耦合而形成的勞侖茲力。安培力定律是因安德烈-馬里·安培而命名。

此條目的主題是兩條載流導線交互作用的力的定律。關於描述載流導線與其產生的磁場之間的關係，請見「安培定律」。

本條目中，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小則用 ${\displaystyle r\,\!}$ 來表示。

安德烈-馬里·安培。

兩條載流導線以磁場力相互吸引對方。下方導線載有電流 ${\displaystyle I_{1}\,\!}$ 。這會產生磁場 ${\displaystyle B_{1}\,\!}$ 。上方導線載有電流 ${\displaystyle I_{2}\,\!}$ ，因為處於這磁場 ${\displaystyle B_{1}\,\!}$ ，會感受到勞侖茲力 ${\displaystyle F_{12}\,\!}$ 。（沒有展示出的是同步的程序：上方導線產生的磁場，會使得下方導線感受到大小相等、方向相反的磁場力。）

另外一副關於勞侖茲力定律的繪圖，顯示出電路 1 的電流 ${\displaystyle I_{1}\,\!}$ ，通過磁場 ${\displaystyle B_{1}\,\!}$ ，施加作用力 ${\displaystyle F_{12}\,\!}$ 於電路 2 , 反之亦然。

公式

設定兩條細直、無限長、固定的、相互平行的載流導線，則在自由空間內，任意一條導線施加於對方的每單位長度作用力 ${\displaystyle f_{m}\,\!}$ 是^[1]

${\displaystyle f_{m}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{2\pi r}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \mu _{0}\,\!}$ 是真空磁導率，${\displaystyle I_{1}\,\!}$ 、${\displaystyle I_{2}\,\!}$ 分別是流動於兩條導線的電流，${\displaystyle r\,\!}$ 是兩條導線之間的垂直距離。

採用國際單位制，${\displaystyle \mu _{0}\,\!}$ 值定義為^[2]

${\displaystyle \mu _{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 4\pi \times 10^{-7}\ \,\!}$ 牛頓 / (安培)²。

假設每一條導線都載有 ${\displaystyle 1\,\!}$ 安培，兩條導線相隔 ${\displaystyle 1\,\!}$ 公尺，則作用於每一條導線的每單位長度的磁力為 2 × 10⁻⁷ 牛頓／公尺。

更一般性的，能夠適用於更多案例的方程式，可以用二重線積分來表達^{[3] [4][5]}：

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {C}}_{1}}\int _{{\mathcal {C}}_{2}}{\frac {d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \mathbf {\times } \ (d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \mathbf {\times } \ {\hat {\mathbf {r} }}_{12})}{r_{12}^{2}}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {F} _{12}\,\!}$ 是導線 1 施加於導線 2 的作用力，${\displaystyle I_{1}\,\!}$ 和 ${\displaystyle I_{2}\,\!}$ 分別是流動於導線 1 和導線 2 的電流，${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}\,\!}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}\,\!}$ 分別是導線 1 和導線 2 的線積分路徑，${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\,\!}$ 和 ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!}$ 分別是 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}\,\!}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}\,\!}$ 的微小線元素，${\displaystyle \mathbf {r} _{12}\,\!}$ 是從 ${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}_{1}\,\!}$ 指向 ${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!}$ 的向量，${\displaystyle r_{12}\,\!}$ 是其大小，${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{12}\,\!}$ 是其單位向量。

從必歐-沙伐定律和勞侖茲力定律推導出安培力定律

根據必歐-沙伐定律，導線 1 的磁場在微小線元素 ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!}$ 位置是

${\displaystyle \mathbf {B} _{1}={\frac {\mu _{0}I_{1}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {C}}_{1}}\ {\frac {d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \times {\hat {\mathbf {r} }}_{12}}{r_{12}^{2}}}\,\!}$ 。

根據勞侖茲力定律，作用於微小線元素位置 ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!}$ 的勞侖茲力遵守以下方程式

${\displaystyle d\mathbf {F} =dq(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\,\!}$ ;

其中，${\displaystyle dq\,\!}$ 是微小電荷，${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$ 是電場。

在這裡，電場等於零。所以，

${\displaystyle d\mathbf {F} _{12}=I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\times \mathbf {B} _{1}\,\!}$ 。

表達為積分形式：

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=I_{2}\int _{{\mathcal {C}}_{2}}\ d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\times \mathbf {B} _{1}\,\!}$ 。

將磁場的公式帶入，可以得到

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {C}}_{1}}\int _{{\mathcal {C}}_{2}}{\frac {d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \mathbf {\times } \ (d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \mathbf {\times } \ {\hat {\mathbf {r} }}_{12})}{r_{12}^{2}}}\,\!}$ 。