完全平方

在數學中，完全平方有兩個含義：

• 一個完全平方是可以表示成另一個整數的平方的正整數，也就是說，這個正整數可以寫成n²的形式，其中n是整數。
  • 例如:1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... 參見平方數。

完全平方可以分解為如下數式: 1=1×1=1², 4=2×2=2², 9=3×3=3²...等

• 可以分解成其它表達式的平方的算數表達式(稱為因式分解)，例如：(a ± b)² =a² ± 2ab + b² 。（參見和平方或差平方或平方）

用平變異數代替整數相乘

整數相乘可以完全的寫成兩個平方的差。

例如：

• ${\displaystyle 10\times 10=(10+0)\times (10-0)=10^{2}-0^{2}=100-0=100}$
• ${\displaystyle 9\times 11=(10-1)\times (10+1)=10^{2}-1^{2}=100-1=99}$
• ${\displaystyle 8\times 12=(10-2)\times (10+2)=10^{2}-2^{2}=100-4=96}$
• ${\displaystyle 7\times 13=(10-3)\times (10+3)=10^{2}-3^{2}=100-9=91}$

一般的，兩個數的乘積等於這兩個數和的平均值的平方減差的平均值的平方。

• ${\displaystyle A\times B=\left({\frac {A+B}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {A-B}{2}}\right)^{2}}$

在速算時，運用這個關係式，兩個接近的大數的乘法可以轉換成平方的減法。這樣只要記住相對來說比較少的平方數表，就可以快捷地計算乘積。

如果${\displaystyle A}$與${\displaystyle B}$一奇一偶，為了避免出現所謂的「半整數」，可以運用以下技巧：

• ${\displaystyle A\times B=A\times (B-1)+A}$

例子:

• ${\displaystyle 27\times 34=(27\times 33)+27=\left(30^{2}-3^{2}\right)+27=900-9+27=918}$