完美長方體

完美長方體，又稱完美盒，指任意兩頂點之間的距離（即棱長、面對角線和體對角線）都是整數的長方體。

Euler brick with edges a,b,c and face diagonals d,e,f

求完美長方體的棱長，即求下列方程組之正整數解：

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=d^{2}}$

${\displaystyle b^{2}+c^{2}=f^{2}}$

${\displaystyle c^{2}+a^{2}=e^{2}}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}}$

註：a、b、c是棱長，d、e、f是面對角線長，g是體對角線長。

它相當於在歐拉長方體問題上再添上了最後的這個條件。

截至2015年5月，還沒有找到任何完美長方體，亦未有人證明完美長方體不存在。經由電腦搜尋顯示，若存在完美長方體，其中一個邊長需大於3·10^12[1][2]，且最小邊長需大於10^10[3]。現時只找到一些接近完美盒，例如其中一邊是無理數，其他邊和對角線均為整數的例子，如： 棱長分別為672、153與104，其面對角線分別為${\displaystyle 3{\sqrt {52777}}}$、680與185，體對角線為697。

另外，亦有面、體對角線均為整數，但棱長只有兩個是整數，另一條是無理數的例子。如：

棱長為18720、${\displaystyle {\sqrt {211773121}}}$與7800這個例子。

完美平行六面體

一個完美平行六面體為邊長、面對角線長及體對角線長皆為整數的平行六面體。平行六面體的角度不需要是整數，故完美長方體可視為完美平行六面體的特例。在2009年發現了數十個完美平行六面體的例子。^[4]

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