對稱函數

此條目介紹的是在變量的所有排列下不變的函數。關於向量空間元素上的對稱函數，請見「對稱張量」。

數學中，若n元函數無論變量順序如何，值都相同，就稱之為對稱函數。例如，二元函數${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)}$，若且唯若${\displaystyle \forall x_{1},\ x_{2},\ \left(x_{1},x_{2}\right),\ \left(x_{2},x_{1}\right)\in {\rm {dom}}(f),\ f\left(x_{1},x_{2}\right)=f\left(x_{2},x_{1}\right)}$，f是對稱函數。最常見的對稱函數類型是多項式函數，由對稱多項式給出。 一個相關概念是交錯多項式，其在變量互換後只有符號改變。除多項式函數外，作為多個向量的函數的張量也可以是對稱的，實際上向量空間V上的對稱k-向量空間同構於V上的k次齊次多項式空間。對稱函數同奇函數與偶函數是不同的概念。

對稱化

主條目：對稱化

給定任意一個n元函數f，其在阿貝爾群中取值。可對參數的所有排列求和，構造得對稱函數。同樣，對偶置換求和、再減去奇置換的求和，就可構造出反對稱函數。這些運算不可逆，而且很可能使得非平凡的f變為等於0的常數函數。若已知f的對稱化與反對稱化，則只能恢復二元的f，且阿貝爾群允許除以2（加倍的逆），這時f等於其對稱化與反對稱化之和的一半。

例子

• 考慮實值函數 $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).}$$ 由定義，n元對稱函數滿足以下性質 $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{2},x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{3},x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n-1}),\quad {\text{ etc.}}}$$ 一般來說，變量的排列不影響函數值。本例中 $${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})}$$ 以此類推，適用於${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$的所有排列。
• 考慮函數 $${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.}$$ 若x、y互換，函數變為 $${\displaystyle f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2},}$$ 結果與原${\displaystyle f(x,y)}$相同。
• 再考慮函數 $${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}.}$$ 若x、y互換，函數變為 $${\displaystyle f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.}$$ 若${\displaystyle a\neq b}$，這樣就和原函數不一樣了，因此是非對稱函數。

應用

U-統計量

主條目：U-統計量

統計學中，對k-樣本統計量進行自助的對稱化，可得n元對稱函數的n樣本統計量，稱作U-統計量。例子如樣本均值和樣本方差。

另見

• 交錯多項式
• 對稱多項式
• 奇函數與偶函數
• 對稱隨機變量
• 准對稱函數
• 對稱函數環
• 對稱化
• 范德蒙多項式（英語：Vandermonde polynomial）

參考文獻

• F. N. David, M. G. Kendall & D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press.
• Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, & Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-73794-4.