數學上,一個射影空間可以被看作是通過向量空間V原點的直線的集合。V = R2以及V = R3的射影空間分別為實射影直線和實射影平面,其中 R表示實數域R2表示有序實數對,R3表示實有序三元組。

透視投影里,平面上的平行線相交於地平線 上的消失點

射影空間的概念與透視投影有關。更確切地說,它與眼睛或照相機把3D場景投影到2D圖像的方法有關。所有位於同一條投影直線(即與相機的入射瞳孔相交的"視線")上的點被投影到同一個圖像上的點。在這種情況下,向量空間為R3,相機的入射瞳孔位於原點,而射影空間與圖像上的點對應。

介紹

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射影空間

如前文提到的,射影空間是一個把"平行直線相交於無窮遠處"的描述進行形式化定義的幾何對象。我們以下給出建構實射影平面 P2(R)的細節。如下三種定義等價:

  1. R3中通過原點(0, 0, 0)的所有直線的集合。每條這樣的直線與球心在原點、半徑為1的球面恰好在兩個點相交,即P = (x, y, z)與其對跖點 (−x, −y, −z)
  2. P2(R)也可以被描述為球面S2上的點,其中每個點P與其對跖點不進行區分。例如,點(1, 0, 0) (圖中紅色點)與點(−1, 0, 0) (淺紅色點,因渲染關係顏色偏黃)等同。
  3. 最後,另一種等價定義是R3 ∖ {(0, 0, 0)}等價類,即不包含原點的三維空間,其中兩個點P = (x, y, z)P = (x, y, z)等價若且唯若存在非零實數λ使得P = λP,即x = λxy = λyz = λz。射影平面的元素的通常寫法,即R3中非零點(x, y, z)所對應的等價類,可以寫成[x : y : z]

最後一個公式即為齊次坐標

在齊次坐標下,任意點[x : y : z] (z ≠ 0)等價於點[x/z : y/z : 1]。因此,射影平面可以分為兩個不相交的集合:包含滿足z ≠ 0的形如[x : y : z] = [x/z : y/z : 1]的點,以及形如[x : y : 0]的點。 後者可以再被類似地劃分為兩個不相交子集,即等價於[x/y : 1 : 0]的點集和形如[x : 0 : 0]的點集。在最後一種情況下,x必不為零,因為原點不屬於P2(R)。這最後的一個集合即等價於點[1 : 0 : 0]。 從幾何上看,第一個子集與R2同構(我們將在後面看到,這不僅僅是集合意義上的同構,也是流形意義上的同構),位於圖中黃色的上半球(不包含赤道;等價地也可以說是下半球)。第二個子集則與R1同構,對應於綠色半圓弧(不包含兩個標出來的端點;等價地也可以說淺綠色半圓弧)。最後,剩下的即為紅色點或與其等價的淺紅色點。

射影空間的公理定義

射影空間S可以被定義為滿足如下公理的一個集合P(點集合)與一個P的子集的集合L(直線集合):[1]

  • 每兩個不同的點pq恰好位於一條直線上。
  • 維布倫公理:[2]如果a, b, c, d為不同的點,並且通過abcd的直線相交,那麼通過acbd的直線也相交。
  • 任意直線上至少有3個點。

最後這條公理排除了以下可約的情況:給定一組互不相交的射影空間,對任意位於兩個不同的射影空間的點構造包含這兩點的線,則這些射影空間的並仍滿足前幾條公理。更抽象地說,它可以被定義為一個關聯結構 (P, L, I),它包括點集P,線集L,以及聲明哪些點位於哪些線上的關聯關係I

有限射影空間/平面

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法諾平面

當射影空間的點集P只有有限個點時,該空間被稱為有限射影空間。在任意有限射影空間中,每條線均包含相同的點數,於是可以定義空間的階數為這個(共同的)點數減一。對於三維及以上的有限射影空間,韋德伯恩小定理意味著射影空間所定義在的商環必須是一個有限域,GF(q),其階數(即元素個數)為q (一個素指數)。

參考資料

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