小星形截角十二面體

在幾何學中，小星形截角十二面體是一種星形均勻多面體，由12個五邊形和12個十角星組成^[5]，並且與截角大十二面體拓樸同構^[6]，其對偶多面體為大五角化十二面體。^[7]

提示：此條目的主題不是截角小星形十二面體。

小星形截角十二面體

類別	星形均勻多面體
對偶多面體	大五角化十二面體
識別
名稱	小星形截角十二面體
參考索引	U58, C74, W97[4]
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	quit sissid
數學表示法
施萊夫利符號	${\displaystyle {\text{t}}^{\prime }{\left\{{\tfrac {5}{2}},5\right\}}}$
威佐夫符號 （英語：Wythoff symbol）	2 5 | 5/3[3] 2 5/4 | 5/3
性質
面	24
邊	90
頂點	60
歐拉特徵數	F=24, E=90, V=60 （χ=-6）
組成與佈局
面的種類	12{5}+12{10/3}
頂點圖	5.10/3.10/3
頂點佈局 （英語：Vertex_configuration）	{10/3 10/3 5}[1][2]
對稱性
對稱群	Ih, [5,3], *532
圖像
5.10/3.10/3 （頂點圖） 大五角化十二面體 （對偶多面體）

性質

小星形截角十二面體是一種星形均勻多面體，共有24個面、90條邊和60個頂點^[2]，歐拉示性數為-6^[8]，並且具有二十面體群對稱性^[9]。在小星形截角十二面體的60個頂點中每個頂點都是兩個十角星和一個五邊形的公共頂點，在頂點圖中，其可以用{10/3, 10/3, 5}來表示^[1][10][8]，由於每個頂點對應的角都是三面角、且等角，因此小星形截角十二面體也可以算是一種等角多面體^[11]。

面的組成

小星形截角十二面體由24個面組成，在24個面中有12個面有5條邊組成、另外12個面由十條邊組成^[12]。而這12個由十條邊組成的多邊性全部都是星形多邊形，即十角星^[12]。

構成小星形截角十二面體的五邊形面

構成小星形截角十二面體的十角星面

構成小星形截角十二面體的面在頂點周圍的排佈

二面角

小星形截角十二面體有兩種稜，一種是2個十角星的公共稜，其對應的二面角角度約為116.56度、另一種是十角星和五邊形的公共稜，其對應的二面角角度約為63.42度^[13]。

小星形截角十二面體中，2個十角星的公共稜對應到的二面角角度為五分之負的五的平方根之反餘弦值^[13]，其等價於負的五的平方根的倒數之反餘弦值^[6]：

${\displaystyle \cos ^{-1}\left(-{\frac {\sqrt {5}}{5}}\right)\approx 2.03444394\approx 116.565051^{\circ }}$

小星形截角十二面體中，十角星和五邊形的公共稜對應到的二面角角度為五分之五的平方根之反餘弦值^[13]，其等價於正五的平方根的倒數之反餘弦值^[6]：

${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {\sqrt {5}}{5}}\approx 1.10714872\approx 63.4349488^{\circ }}$

歷史

最早列出小星形截角十二面體的文獻是在考克斯特、朗格·希金斯與米勒的論文《均勻多面體》中^[14]，其中列出了非常多的均勻多面體。後來在1993年時，齊夫·哈爾提出了一個能計算生成各均勻多面體的演算法，使得小星形截角十二面體能更容易地被視覺化。^[8]

相關多面體

若將小星形截角十二面體視為一個抽象多面體，則其與截角大十二面體視為抽象多面體的結果等價^[6]。另一種與小星形截角十二面體相關的多面體為皮特里擴展小星形截角十二面體，是由小星形截角十二面體經過皮特里擴展變換所形成的像，其共有114個面、300條邊和180個頂點。^[15]

此外，小星形截角十二面體與截角大十二面體拓樸同構：小星形截角十二面體可以透過將五邊形面拓樸變形成五角星面同時也將十角星面拓樸變形成十邊形面使立體轉變成截角大十二面體。^[16]

小星形截角十二面體與小斜方截半二十面體共用相同的頂點排佈。^[6]其他也與小星形截角十二面體共用相同的頂點排佈的立體有小十二面截半二十面體^[17]、小斜方十二面體^[18]。

小斜方截半二十面體	小十二面截半二十面體	小斜方十二面體
小星形截角十二面體	六複合五角星柱（英語：Compound of six pentagrammic prisms）	十二複合五角星柱（英語：Compound of twelve pentagrammic prisms）

參見

• 均勻多面體列表（英語：List of uniform polyhedra）