尼文定理

尼文定理（Niven's theorem）說的是，在 0~90° 範圍內，如果正弦函數 sin 的自變量和因變量都要求是有理數，那麼答案只有^[1]：

${\displaystyle \sin 0^{\circ }=0}$ 。

${\displaystyle \sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}}}$ 。

${\displaystyle \sin 90^{\circ }=1}$ 。

若用弧度表示，需在0 ≤ x ≤ π/2的範圍內，且要求x/π及sin x都是有理數。其結果是sin 0 = 0, sin π/6 = 1/2 及 sin π/2 = 1。

此定義出現在伊萬·尼雲有關無理數的書中^[2]。

證明

證明的核心是下方的引理：

引理：

對於${\displaystyle \forall n\geq 1}$，必定存在一個一元n次整係數多項式${\displaystyle F_{n}(x)}$使得

${\displaystyle F_{n}(2\cos t)=2\cos nt}$

引理的證明：

考慮採用遞推法構造題設數列：

當${\displaystyle n=1}$時

${\displaystyle F_{1}(x)=x}$

當${\displaystyle n=2}$時

${\displaystyle F_{2}(x)=x^{2}-2}$

當${\displaystyle n>2}$時

${\displaystyle 2\cos(n-1)t\cos t=\cos nt+cos(n-2)t}$ （積化和差恆等式）

${\displaystyle 2\cos nt=(2\cos(n-1)t)(2\cos t)-2\cos(n-2)t}$

${\displaystyle 2\cos nt=2\cos tF_{n-1}(2\cos t)-F_{n-2}(2\cos t)}$ （移項）

即只要${\displaystyle F_{n}(x)=xF_{n-1}(x)-F_{n-2}(x)}$ 且 ${\displaystyle F_{1}(x)=x,}$${\displaystyle F_{2}(x)=x^{2}-2}$ 必定滿足題設要求。

定理的證明：

考慮到${\displaystyle \theta \over \pi }$是有理數，即${\displaystyle \theta =2\pi {\frac {k}{n}}}$

記${\displaystyle c=2\cos \theta \in \mathbb {Q} }$

${\displaystyle F_{n}(c)=F_{n}(2\pi {\frac {k}{n}})=2\cos(2\pi k)=2}$

即 ${\displaystyle c}$ 是 ${\displaystyle F_{n}(x)-2=0}$的有理根

根據整數根定理，${\displaystyle c}$ 必定為整數

又有 ${\displaystyle -2\leq c=2\cos \theta \leq 2}$

故 ${\displaystyle c\in \{-2,-1,0,1,2\}}$

於是，在 ${\displaystyle 0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}}$ 且 ${\displaystyle {\frac {\theta }{\pi }}}$ 為有理數的條件下

${\displaystyle \theta \in \{0,{\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{2}}\}}$

定義${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}-\theta }$

有${\displaystyle \sin \alpha =\cos \theta }$

故${\displaystyle \alpha \in \{0,{\frac {\pi }{6}},{\frac {\pi }{2}}\}}$

${\displaystyle \blacksquare }$

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