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尼文定理

一個數學定理,只有0度、30度與90度的正弦函數值是有理數 来自维基百科,自由的百科全书

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尼文定理(Niven's theorem)說的是,在 0~90° 範圍內,如果正弦函數 sin 的自變量和因變量都要求是有理數,那麼答案只有[1]

若用弧度表示,需在0 ≤ x ≤ π/2的範圍內,且要求x/π及sin x都是有理數。其結果是sin 0 = 0, sin π/6 = 1/2 及 sin π/2 = 1。

此定義出現在伊萬·尼雲有關無理數的書中[2]

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證明

證明的核心是下方的引理:

引理

對於,必定存在一個一元n次整係數多項式使得

引理的證明

考慮採用遞推法構造題設數列:

積化和差恆等式
(移項)

即只要 必定滿足題設要求。

定理的證明

考慮到有理數,即

的有理根
根據整數根定理 必定為整數

又有

於是,在 為有理數的條件下

定義

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參考資料

延伸閱讀

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