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局部體
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在數學上,局部體是一類特別的體,它有非平凡的絕對值,此絕對值賦予的拓撲是局部緊的。局部體可粗分為兩類:一種的絕對值滿足阿基米德性質(稱作阿基米德局部體),另一種的絕對值不滿足阿基米德性質(稱作非阿基米德局部體)。在數論中,數體的完備化給出局部體的典型例子。
非阿基米德局部體
設為非阿基米德局部體,而為其絕對值。關鍵在下述對象:
- 閉單位球:,或其整數環,這是個緊集。
- 整數環裡的單位元素:
- 開單位球:,這同時是其整數環裡唯一的極大理想,也記作。
上述對象與賦值環的構造相呼應;事實上,可證明必存在實數及離散賦值,使得
- .
可取唯一的使得為滿射,稱之為正規化賦值。
從此引出非阿基米德局部體的另一個等價定義:一個體,帶離散賦值,使得成為完備的拓撲體,而且剩餘體有限。
這類局部體的行為可由局部類體論描述。
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分類
局部體的完整分類如次:
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文獻
- Milne, James, Algebraic Number Theory.
- Serre, Jean-Pierre. Corps locaux. Hermann. 1968.
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