差分機

巴貝奇設計計算機器的基本想法是利用「機器」將計算到印刷的過程全部自動化，全面去除人為疏失（如：計算錯誤、抄寫錯誤、校對錯誤、印製錯誤等）。而差分機一號（Difference Engine No.1）則是利用N次多項式求值會有共通的N次階差的特性，以齒輪運轉，帶動十進位的數值相加減、進位。

差分機一號（Difference Engine No.1）由英國政府出資，工匠約瑟夫·克萊芒（英語：Joseph Clement）打造，預計完工需要25,000個零件（大致均分在計算和印刷兩部份），重達4噸，可計算到第六階差，最高可以存16位數（相當於千兆的數）。但因為大量精密零件製造困難，加上巴貝奇不停地邊製造邊修改設計，從1822到1832年的十年間，巴貝奇只能拿出完成品的1/7部份來展示，不過差分機運轉的精密程度仍令當時的人們嘆為觀止，至今依然是人類踏進科技的一個重大起步。

巴貝奇不斷延後完成期限的嚴重超支（英國政府在1842年的最後清算發現整個計畫一共讓國庫支出了￡17,500）、製作過程不斷修改設計、時常與克萊芒發生衝突等諸多原因，讓完整的差分機一號一直未能完成，一萬兩千多個還沒用到的精密零件後來都被熔解報廢。

差分機（Difference Engine）的運作原理可以簡化為一台多項式求值機。對於一個N次多項式，只要將N+1個初始值輸入機器，機器每完成一輪運算，就能產生出一個新的多項式值。

多項式的差分法是差分機運作的核心數學原理。對於一個給定的多項式 F(x)，其在 x 和 x+1 處的函數值之差 F(x+1) - F(x)，稱為其一階差分（First difference）。

如果一階差分對於不同的 x 值不恆為常數，我們可以繼續對一階差分的結果再做一次差分，從而得到二階差分（Second difference）。

對於一個N次多項式，其N階差分將是一個常數。這意味著第N+1階及以上的差分恆為零。差分機所需要的N+1個初始值，正是函數在初始點（例如 x=0）的函數值，以及其一階、二階、直至N階差分的值。

為了更清晰地描述這個規律，我們可以定義一階差分算子 \Delta： :\Delta F(x) = F(x+1) - F(x)

由此，二階差分就是對一階差分再進行一次差分運算： :\Delta^2 F(x) = \Delta(\Delta F(x)) = \Delta(F(x+1) - F(x)) = (F(x+2)-F(x+1)) - (F(x+1)-F(x))

這個過程利用了二項式定理的性質。對於多項式中的任意一項 a_r x^r，其一階差分為： :\Delta(a_r x^r) = a_r(x+1)^r - a_r x^r = a_r(x^r + rx^{r-1} + \dots + 1) - a_r x^r = a_r(rx^{r-1} + \dots)

可以觀察到，每進行一次差分運算，多項式的最高次項就會被消除，使得多項式的次數降低一。重複這個過程N次後，原有的N次多項式最終會變成一個常數。

== 一個例子 == 以二次多項式 F(x) = x^2 + 4 為例。我們可以計算出其在連續整數點的一階差分： : F(1) - F(0) = (1^2+4) - (0^2+4) = 5 - 4 = 1 : F(2) - F(1) = (2^2+4) - (1^2+4) = 8 - 5 = 3 : F(3) - F(2) = (3^2+4) - (2^2+4) = 13 - 8 = 5

由於一階差分（1, 3, 5, ...）不為常數，我們繼續計算二階差分： : (F(2)-F(1)) - (F(1)-F(0)) = 3 - 1 = 2 : (F(3)-F(2)) - (F(2)-F(1)) = 5 - 3 = 2 可以看到，其二階差分為一個常數2。

我們也可以用代數方法來分析。其一階差分函數為： :\Delta F(x) = ((x+1)^2 + 4) - (x^2 + 4) = (x^2 + 2x + 1 + 4) - (x^2 + 4) = 2x + 1 其二階差分函數為： :\Delta^2 F(x) = \Delta(2x+1) = (2(x+1)+1) - (2x+1) = (2x+3) - (2x+1) = 2

這再次證明，對於二次多項式，x^2 項在一次差分後被消除，x 項在二次差分後被消除，最終得到一個常數。

== 機械實現 == 差分機通過機械結構將差分法自動化。機器內部設置了多個暫存器（Register），每個暫存器存儲一個特定階的差分值。我們可以將存儲第n階差分的暫存器記為 \Delta^n。第0階暫存器 \Delta^0 則存儲多項式本身的函數值 F(x)。

機器運算時，通過一系列齒輪和連杆的精密協作，實現重複的加法。其核心運算規則如下： 每一個低階暫存器的新值，等於其本身舊值與相鄰高一階暫存器舊值的和。 即： :F(x+1) = F(x) + \Delta F(x) :\Delta F(x+1) = \Delta F(x) + \Delta^2 F(x) :\dots :\Delta^{N-1} F(x+1) = \Delta^{N-1} F(x) + \Delta^N F(x)

由於最高階差分 \Delta^N 是一個常數，其對應的暫存器值在整個計算過程中保持不變。

在一個運算周期中，機器的運算從最高階差分 \Delta^N 開始，將其值加到 \Delta^{N-1} 暫存器上，更新 \Delta^{N-1} 的值。接著，將更新後的 \Delta^{N-1} 值加到 \Delta^{N-2} 上，以此類推，逐級向下傳遞，直到最後將更新後的 \Delta^1 值加到 \Delta^0</text{ (F(x))} 暫存器上，從而得到新的函數值 F(x+1)。

因此，只要預先將多項式在某個初始點（如 x=0）的各階差分值設定在對應的暫存器中，差分機每轉動一圈（完成一個運算周期），\Delta^0 暫存器上就會自動計算出多項式在下一個整數點 x=1, 2, 3, \dots 的對應值。

在機械方面，巴貝奇差分機是用蒸汽機為動力，驅動大量的齒輪機構運轉。巴貝奇的分析機大體上有三大部分：其一是齒輪式的「存貯庫」，巴貝奇稱它為「倉庫」（Store），每個齒輪可貯存10個數，齒輪組成的陣列總共能夠儲存1000個50位數。

分析機的第二個部件是所謂「運算室」，它被巴貝奇命名為「作坊」（Mill），其基本原理與帕斯卡的轉輪相似，用齒輪間的嚙合、旋轉、平移等方式進行數字運算。為了加快運算速度，他改進了進位裝置，使得50位數加50位數的運算可完成於一次轉輪之中。第三部分巴貝奇沒有為它具體命名，其功能是以傑卡德穿孔卡中的「0」和「1」來控制運算操作的順序，類似於電腦里的控制器。

他甚至還考慮到如何使這台機器處理依條件轉移的動作，比如，第一步運算結果若是「1」，就接著做乘法，若是「0」就進行除法運算。此外，巴貝奇也構思了送入和取出數據的機構，以及在「倉庫」和「作坊」之間不斷往返運輸數據的部件。

差分機一號

運作原理

差分機二號

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