巴蘇定理

在統計學中，巴蘇定理（Basu's Theorem）指出任何有界完全的充分統計量與任何輔助統計量獨立。 這是Debabrata Basu於1955年發現的結論。^[1]

定理陳述

設${\displaystyle P_{\theta }}$是可測空間${\displaystyle (X,\Sigma )}$上的一族分布。如果${\displaystyle T}$是${\displaystyle \theta }$的充分且有界完全的統計量，${\displaystyle A}$是關於${\displaystyle \theta }$的輔助統計量，那麼${\displaystyle T}$獨立於${\displaystyle A}$。

證明

對任意鮑萊耳集${\displaystyle B}$，構造函數${\displaystyle h_{B}(T)\equiv P_{\theta }(A\in B|T)-P_{\theta }(A\in B)}$。注意到記號${\displaystyle h_{B}}$是合理的，因為這一函數不取決於${\displaystyle \theta }$。第一項不取決於${\displaystyle \theta }$是因為${\displaystyle T}$的充分性，第二項不取決於${\displaystyle \theta }$是因為${\displaystyle A}$是關於${\displaystyle \theta }$的輔助統計量。注意到${\displaystyle h_{B}}$有界並且期望值為0。因此，${\displaystyle T}$的有界完全性保證了${\displaystyle h_{B}}$幾乎處處為0。由於${\displaystyle B}$可以是任意鮑萊耳集，定理得證。

例子

常態分布（變異數已知）的樣本期望值獨立於樣本變異數

讓 X₁, X₂,..., X_n 是獨立同分布的常態分布隨機變數，其中變異數${\displaystyle \sigma ^{2}}$已知，均值${\displaystyle \mu }$未知。

關於參數${\displaystyle \mu }$，可以證明樣本均值

${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum X_{i}}{n}},}$

是充分完全統計量，並且樣本變異數

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum \left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}},}$

是輔助統計量，即其分布並不依賴於${\displaystyle \mu }$。

因此，巴蘇定理指出二者獨立。

儘管上述證明是藉助變異數已知均值未知的常態分布模型完成的，這一結論並不只在該情況下成立。實際上，無論變異數或均值已知與否，常態分布的樣本均值和樣本變異數都是獨立的。更進一步，常態分布是唯一具有這一性質的分布^[2]。