布萊克-休斯模型

布萊克-休斯模型（英語：Black-Scholes Model），簡稱BS模型，是一種數學模型，用來為衍生性金融商品中的選擇權定價，由美國經濟學家麥倫·休斯與費雪·布萊克首先提出。此模型適用於沒有派發股利的歐式選擇權。羅伯特·C·墨頓其後修改了數學模型，使其於有派發股利時亦可使用，新模型被稱為布萊克-休斯-墨頓模型（英語：Black–Scholes–Merton model）。

「Black-Scholes Model」的各地常用譯名
中國大陸	布萊克-舒爾斯模型
臺灣	布萊克-休斯模型

此模型的應用是透過買賣價格過高或是過低的選擇權，並同時與持有的資產避險，來消除可能潛在的風險，並因此而套利。此方法也被稱為「動態 Delta中性」。此公式問世後帶來了選擇權市場的繁榮，並且也是在投資銀行與避險基金中被廣為使用的基礎模型。

雖然在很多情況下被使用者進行一定的改動和修正。很多經驗測試表明這個公式足夠貼近市場價格，然而也有會出現差異的時候，如著名的「波動率的微笑（英語：Volatility smile）」。然而它假設價格的變動，會符合常態分配（即俗稱的鐘形曲線），但在金融市場上經常出現符合統計學厚尾現象的事件，這影響此公式的有效性。

1997年，麥倫·休斯和羅伯特·C·墨頓借該模型獲得諾貝爾經濟學獎。費雪·布萊克不幸在1995年離世，因此未能獲獎。

重要假設

BS模型假設金融市場存在最少一種風險資產（如股票）及一種無風險資產（現金或債券）。

假設金融資產是：

• 無風險資產的投資報酬是不變的，此報酬率稱作無風險利率
• 股票價格遵從幾何布朗運動（隨機漫步）
• 股票在選擇權有效期內不分派紅利
• 股票價格服從對數常態分配，即金融資產的對數收益率服從常態分配

假設金融市場是：

• 不存在套利機會
• 能以無風險利率借出或借入任意數量的金錢
• 能買入及賣出（沽空）任意數量的股票
• 市場無摩擦，即不存在交易稅收和交易成本

此外，假設選擇權是歐式選擇權，即只可在特定日期行權。

數學模型

符號

V(S,t)：歐式選擇權的理論價格

C(S,t)：認購選擇權的價格

P(S,t)：認沽選擇權的價格

ln()：自然對數

K：交割價格

S：即期價格（Spot）

τ：有效期

T：到期日

t：時間，以年為單位，例如0.5代表6個月

${\displaystyle \tau =T-t}$

r：連續複利計無風險利率

${\displaystyle \sigma ^{2}}$：年度化變異數

N()：常態分布變數的累積分布函數

${\displaystyle N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-z^{2}/2}\,dz}$

布萊克-休斯方程式

對於有效期內不派發紅利的歐式選擇權，其價格遵從以下偏微分方程式：

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$

把方程式重寫成左右兩邊：

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=rV-rS{\frac {\partial V}{\partial S}}}$

左方代表選擇權的時間值及與即期價格的凸性（英語：Convexity (finance)）。右方代表選擇權長倉的無風險報酬及${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial S}}}$股標的物短倉。

求解過程會轉換成為一個熱傳導方程式。

公式

利用以下約束條件，可解認購選擇權（Call Option）的理論值。

${\displaystyle {\begin{aligned}C(0,t)&=0{\text{ for all }}t\\C(S,t)&\rightarrow S{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\C(S,T)&=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}}$

認購選擇權的理論價格是：

${\displaystyle \displaystyle C(S,t)=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r\tau }}$

其中：

${\displaystyle d_{1}={\begin{smallmatrix}\displaystyle {\frac {\ln \displaystyle {\frac {S}{K}}+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right){\tau }}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\end{smallmatrix}}}$

${\displaystyle d_{2}={\begin{smallmatrix}\displaystyle d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}\end{smallmatrix}}}$

利用相同的方法，也可解認沽選擇權的理論價格：

${\displaystyle \displaystyle P(S,t)=N(-d_{2})Ke^{-r\tau }-N(-d_{1})S}$

認購選擇權及認沽選擇權的理論價格都包含 ${\displaystyle e^{-r\tau }}$，把交割價格K以連續複利折算為現值。

${\displaystyle \displaystyle PV(K,t)=Ke^{-r\tau }}$

派發股利的選擇權定價模型

布萊克-休斯模型假定在選擇權有效期內標的股票不派發股利。若派發股利需改用布萊克-休斯-墨頓模型，其公式如下： ${\displaystyle \displaystyle C=S\times e^{-k\times t}\times N(d_{1})-e^{-r\times T}\times L\times N(d_{2})}$

其中：

${\displaystyle d_{1}={\begin{smallmatrix}\displaystyle {\frac {\ln \displaystyle {\frac {S}{L}}+\left(r-k+0.5\times \sigma ^{2}\right)\times {T}}{\sigma \times {\sqrt {T}}}}\end{smallmatrix}}}$

${\displaystyle d_{2}={\begin{smallmatrix}\displaystyle d_{1}-\sigma \times {\sqrt {T}}\end{smallmatrix}}}$

k：表示標的股票的年股利收益率（假設股利連續支付，而不是離散分期支付）

Ln：自然對數；

C：選擇權初始合理價格；

L：選擇權交割價格；

S：交易所金融資產現價；

T：選擇權有效期；

r：連續複利計無風險利率Ｈ；

${\displaystyle \sigma ^{2}}$：年度化變異數；

N()：常態分布變數的累積分布函數。

關聯項目

• 金融工程學
• 金融數學
• 瓦西塞克模型（英語：Vasicek model）
• Cox–Ingersoll–Ross model
• 長期資本管理公司

外部連結

• The Black–Scholes Model （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, global-derivatives.com
• Black, Merton, and Scholes: Their work and its consequences （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, by Ajay Shah
• The Black–Scholes Option Pricing Model （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, optiontutor