帕斯卡矩陣

帕斯卡矩陣是以組合數為元素的矩陣。

5階帕斯卡上三角矩陣（${\displaystyle U_{5}}$）	5階帕斯卡下三角矩陣（${\displaystyle L_{5}}$）	5階帕斯卡對稱矩陣（${\displaystyle S_{5}}$）
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&4\\0&0&1&3&6\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&2&1&0&0\\1&3&3&1&0\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{pmatrix}}}$

其中${\displaystyle S_{n}=L_{n}U_{n}}$

性質

帕斯卡對稱矩陣${\displaystyle S_{n}}$的元素為：

${\displaystyle S_{ij}={\binom {i+j-2}{i-1}}}$

${\displaystyle S_{n}}$的跡為：

${\displaystyle tr(S_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\frac {[2(i-1)]!}{[(i-1)!]^{2}}}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(2k)!}{(k!)^{2}}}}$ （OEIS:A006134）

帕斯卡下三角矩陣${\displaystyle L_{6}}$的逆為：^[1]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0\\1&2&1&0&0&0\\1&3&3&1&0&0\\1&4&6&4&1&0\\1&5&10&10&5&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0\\-1&1&0&0&0&0\\1&-2&1&0&0&0\\-1&3&-3&1&0&0\\1&-4&6&-4&1&0\\-1&5&-10&10&-5&1\end{pmatrix}}}$

帕斯卡矩陣可從超對角矩陣的指數構造出來：^[1]

${\displaystyle {\begin{array}{lll}&L_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\1&1&.&.&.&.&.\\1&2&1&.&.&.&.\\1&3&3&1&.&.&.\\1&4&6&4&1&.&.\\1&5&10&10&5&1&.\\1&6&15&20&15&6&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \\\\&U_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&1&.&.&.&.&.\\.&.&2&.&.&.&.\\.&.&.&3&.&.&.\\.&.&.&.&4&.&.\\.&.&.&.&.&5&.\\.&.&.&.&.&.&6\\.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\.&1&2&3&4&5&6\\.&.&1&3&6&10&15\\.&.&.&1&4&10&20\\.&.&.&.&1&5&15\\.&.&.&.&.&1&6\\.&.&.&.&.&.&1\end{smallmatrix}}\right];\\\\&S_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&1&.&.&.&.&.\\.&.&2&.&.&.&.\\.&.&.&3&.&.&.\\.&.&.&.&4&.&.\\.&.&.&.&.&5&.\\.&.&.&.&.&.&6\\.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5&6&7\\1&3&6&10&15&21&28\\1&4&10&20&35&56&84\\1&5&15&35&70&126&210\\1&6&21&56&126&252&462\\1&7&28&84&210&462&924\end{smallmatrix}}\right].\end{array}}}$

映射出正負相間的伯努利數：^[2]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&2&1&0\\1&3&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-1/2\\1/6\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1/2\\1/6\\0\end{pmatrix}}}$

應用

利用帕斯卡矩陣的逆求解線性方程與等冪求和問題，例如：

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}={\begin{pmatrix}C_{1}^{n}&C_{2}^{n}&C_{3}^{n}&C_{4}^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\1&-2&1&0\\-1&3&-3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1^{3}\\2^{3}\\3^{3}\\4^{3}\end{pmatrix}}=C_{1}^{n}+7C_{2}^{n}+12C_{3}^{n}+6C_{4}^{n}}$

參見

• 楊輝三角形
• LU分解