幾何分布

在機率論和統計學中，幾何分布（英語：Geometric distribution）指的是以下兩種離散型機率分布中的一種：

• 在伯努利試驗中，得到一次成功所需要的試驗次數${\displaystyle X}$。${\displaystyle X}$的值域是{ 1, 2, 3, ... }
• 在得到第一次成功之前所經歷的失敗次數${\displaystyle Y=X-1}$。Y的值域是{ 0, 1, 2, 3, ... }

幾何分布

機率質量函數
累積分布函數
母數	${\displaystyle 0<p\leq 1}$成功機率（實）	${\displaystyle 0<p\leq 1}$成功機率（實）
支撐集	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \}\!}$	${\displaystyle k\in \{0,1,2,3,\dots \}\!}$
機率質量函數（pmf）	${\displaystyle (1-p)^{k-1}\,p\!}$	${\displaystyle (1-p)^{k}\,p\!}$
累積分布函數 (cdf)	${\displaystyle 1-(1-p)^{k}\!}$	${\displaystyle 1-(1-p)^{k+1}\!}$
期望值	${\displaystyle {\frac {1}{p}}\!}$	${\displaystyle {\frac {1-p}{p}}\!}$
中位數	${\displaystyle \left\lceil {\frac {-1}{\log _{2}(1-p)}}\right\rceil \!}$（如果${\displaystyle -1/\log _{2}(1-p)}$是整數，則中位數不唯一）	${\displaystyle \left\lceil {\frac {-1}{\log _{2}(1-p)}}\right\rceil \!-1}$（如果${\displaystyle -1/\log _{2}(1-p)}$是整數，則中位數不唯一）
眾數	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
變異數	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}\!}$	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}\!}$
偏度	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}\!}$	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}\!}$
超值峰度	${\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}\!}$	${\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}\!}$
熵	${\displaystyle {\tfrac {-(1-p)\log _{2}(1-p)-p\log _{2}p}{p}}\!}$	${\displaystyle {\tfrac {-(1-p)\log _{2}(1-p)-p\log _{2}p}{p}}\!}$
動差生成函數 (mgf)	${\displaystyle {\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}\!}$, for ${\displaystyle t<-\ln(1-p)\!}$	${\displaystyle {\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\!}$
特徵函數	${\displaystyle {\frac {pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}}\!}$	${\displaystyle {\frac {p}{1-(1-p)\,e^{it}}}\!}$

實際使用中指的是哪一個取決於慣例和使用方便。

這兩種分布不應該混淆。前一種形式（${\displaystyle X}$的分布）經常被稱作shifted geometric distribution；但是，為了避免歧義，最好明確地說明取值範圍。

如果每次試驗的成功機率是${\displaystyle p}$，那麼${\displaystyle k}$次試驗中，第${\displaystyle k}$次才得到成功的機率是，

${\displaystyle \Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}\,p\,}$

其中${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$.

上式描述的是取得一次成功所需要的試驗次數。而另一種形式，也就是第一次成功之前所失敗的次數，可以寫為，

${\displaystyle \Pr(Y=k)=(1-p)^{k}\,p\,}$

其中${\displaystyle k=0,1,2,3,\ldots }$

兩種情況產生的序列都是幾何數列。這是幾何分布的名字來源。

比如，假設不停地擲骰子，直到得到1。投擲次數是隨機分布的，取值範圍是無窮集合{ 1, 2, 3, ... }，並且是一個${\displaystyle p={\frac {1}{6}}}$的幾何分布。

性質

呈幾何分布的隨機變數X的期望值是1/p，變異數是 （1-p)/p²:

${\displaystyle \mathrm {E} (X)={\frac {1}{p}},\qquad \mathrm {var} (X)={\frac {1-p}{p^{2}}}.}$

幾何分布具有非記憶性的性質（Memoryless Property，又稱遺失記憶性）

這表示如果一個隨機變數呈幾何分布，它的條件機率遵循：

${\displaystyle P(T>s+t\;|\;T>t)=P(T>s)\;\;{\hbox{for all}}\ }$s, t ∈ℕ.

記號

若隨機變數${\displaystyle {\mathit {X}}}$服從母數為${\displaystyle {\mathit {p}}}$的幾何分布，則記為${\displaystyle X\sim G(p)}$.

用途

在重複多次的伯努利試驗中，試驗進行到某種結果出現第一次為止，此時的試驗總次數服從幾何分布，如：射擊，首次擊中目標時的次數。

參見

• 機率分布
• 超幾何分布
• 負二項分布
• 指數分布