微分的線性

在微積分中，函數的任何線性組合的導數等於函數的導數的相同線性組合^[1]，此屬性稱為微分的線性（linearity of differentiation）^[2]、線性法則（rule of linearity）、或微分的疊加法則^[3]。導數的基本屬性是將兩個簡單的微分法則封裝在一起：求和法則（兩個函數之和的導數是導數的和）和常數法則（函數的常數倍的導數是該函數的導數的常數倍）^[4][5]。因此，可以說微分作用是線性的，或者微分算子是線性的算子^[6]。

說明

設 f 和 g 為函數，同時 α 和 β 是常數，思考：

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x))}$

通過微分的求和法則：

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x))+{\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\beta \cdot g(x))}$

通過微分的常數法則，這一式子變為：

${\displaystyle \alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x)}$

進而：

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x))=\alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x)}$

忽略括號，這常被寫作

${\displaystyle (\alpha \cdot f+\beta \cdot g)'=\alpha \cdot f'+\beta \cdot g'}$