德拜-沃勒因子

德拜-沃勒因子（Debye–Waller factor，DWF），得名於彼得·德拜和伊瓦爾·沃勒（英語：Ivar Waller），在凝聚體物理學中描述的是X射線繞射中由熱運動引起的衰減^[1][2]；又被稱作B因子或者溫度因子。蘭姆-梅斯堡因子（英語：Lamb-Mössbauer factor）是德拜-沃勒因子在相干中子散射實驗（英語：neutron scattering）和梅斯堡譜學中的一個推廣。

本條目中，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小則用 ${\displaystyle r\,\!}$ 來表示。

在散射實驗中，對於散射向量 ${\displaystyle \mathbf {q} }$，${\displaystyle {\text{DWF}}(\mathbf {q} )}$ 給出的是彈性散射（英語：elastic scattering）的比例；${\displaystyle 1-{\text{DWF}}(\mathbf {q} )}$ 則是非彈性散射的比例。（嚴格來講，這種機率詮釋不是非常準確^[3]。）布拉格繞射實驗中，彈性散射是出現布拉格峰的原因；而非彈性散射產生的是寬廣的背景雜訊，除非分析對象是散射粒子的能量（例如非彈性中子散射（英語：inelastic neutron scattering）或是電子能量損失譜），否則均被視為干擾。因此在一般的繞射實驗中，只有彈性散射是有效資訊。這也使得德拜-沃勒因子的計算在繞射實驗中具有重要的意義。

背景

在勞厄完成X射線繞射實驗之前，學術界曾經對此實驗的可行性進行過討論。其中一種觀點認為，在室溫條件下，晶格中的原子由於熱運動，是無法維持其在晶格中週期性排列的位置的，因此在實際的實驗中不應該觀測到任何的繞射峰（即布拉格峰）。^[4]

然而，隨後勞厄和布拉格等人的X射線繞射實驗證實了布拉格峰的存在。實驗中，當晶體的溫度上升時，布拉格峰的強度下降，但其寬度不變。^[4] 以下是德拜的描述：

「

我將其總結為，干涉條紋的銳度不受影響，但是他們的強度會不但隨著散射角的增加而下降，而且會隨著溫度的升高而下降。[4]

」

最初的理論

對此實驗現象，德拜給出了最初的理論解釋。給結構因子 ${\displaystyle S(\mathbf {q} )}$ 中表示原子位置的項 ${\displaystyle \mathbf {R} _{j}}$ 加上關於時間的微擾項 ${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$，得到修正後的原子位置為 ${\displaystyle \mathbf {R} (t)=\mathbf {R} _{j}+\mathbf {u} (t)}$。假設每個原子都相對各自的平衡位置獨立地振動^{[注 1]}，則對修正後結構因子中的 ${\displaystyle f_{j}\exp(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j})}$ 一項變為：

${\displaystyle f_{j}\exp(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j})\left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle }$

修正項 ${\displaystyle \left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle }$ 即為德拜-沃勒因子的最初來源。

定義

德拜-沃勒因子的基本表達式為：

${\displaystyle {\text{DWF}}=\left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle ^{2}}$

其中的 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ 為熱振動引起的位移，${\displaystyle \left\langle ...\right\rangle }$ 表示熱力學平均。

${\displaystyle \left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle }$ 可被展開為

${\displaystyle 1-i\left\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right\rangle -{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle +...}$

假設 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ 在空間上具有各向同性，即${\displaystyle \left\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right\rangle =0}$，則

${\displaystyle \left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle =1-{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle +...}$

注意到上式的前兩項與 ${\displaystyle \exp(-{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle )}$ 展開式的前兩項是一致的。因此可用 ${\displaystyle \exp(-{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle )}$ 代換${\displaystyle \left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle }$，代入開頭的基本表達式：

${\displaystyle {\text{DWF}}=\left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle ^{2}=(\exp(-{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle ))^{2}=\exp(-\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle )}$

即

${\displaystyle {\text{DWF}}=\exp(-\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle )}$

上式即為德拜-沃勒因子在教科書中常見的定義^{[5][6][注 2]}。值得注意的是上述推導都是在古典物理學的框架之下完成的；而在量子力學中，相同的結論依然成立。

進一步的推導^[4]可得

${\displaystyle {\text{DWF}}=\exp \left(-q^{2}\langle u^{2}\rangle /3\right)}$

其中 ${\displaystyle q}$，${\displaystyle u}$ 為向量 ${\displaystyle \mathbf {q} }$，${\displaystyle \mathbf {u} }$ 的大小。${\displaystyle \langle u^{2}\rangle }$ 叫做均方位移（英語：mean squared displacement）。若入射波的波長為 ${\displaystyle \lambda }$，且被彈性散射了 ${\displaystyle 2\theta }$ 角度，可用下式計算出 ${\displaystyle q}$ 的大小：

${\displaystyle q={\frac {4\pi \sin(\theta )}{\lambda }}}$

B因子

在對蛋白質結構的研究中，「B因子（B-factor）」這個名稱更為常用，其定義為

${\displaystyle B=8\pi ^{2}\langle u^{2}\rangle }$

單位為 Ų。B因子可被看作是結構中不同部分的相對振動。低B因子的原子從屬於結構中良好有序（well ordered）的部分，而高B因子的原子一般屬於結構中非常柔性易變（flexible）的部分。蛋白質資料庫中的每一ATOM記錄（PDB文件格式（英語：Protein Data Bank (file format)））都會包含某特定原子的B因子資訊^[7]。

參見

• 蘭姆-梅斯堡因子（英語：Lamb-Mössbauer factor）