托里拆利小號

托里拆利小號（Torricelli's Trumpet）是由義大利數學家埃萬傑利斯塔·托里拆利（Evangelista Torricelli）所提出的一個表面積無限大但體積有限的三維形狀。此形狀又被稱為加百列號角（Gabriel's Horn），根據基督教傳說，天使長加百利吹號角以宣布審判日（Judgment Day）的到來。

托里拆利小號的3D繪圖.

數學定義

這個曲面是由${\displaystyle y=1/x}$（x的域為${\displaystyle x\geq 1}$）的曲線沿${\displaystyle x}$軸旋轉而成。以下是其體積和表面積的推導：

使用旋轉體的體積(V)和旋轉曲面的面積(A)公式^[1]，可得：

${\displaystyle V=\int _{1}^{\infty }\pi y^{2}\mathrm {d} x=\pi \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x=\pi }$

${\displaystyle A=\int _{1}^{\infty }2\pi y{\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\mathrm {d} x=2\pi \int _{1}^{\infty }{\frac {\sqrt {1+{\frac {1}{x^{4}}}}}{x}}\mathrm {d} x>2\pi \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\mathrm {d} x={\infty }}$

可見，托里拆利小號的體積是有限的但是表面積是無限的，其體積和表面積除了微積分方法也可以用祖暅原理得出。

需要注意的是，托里拆利小號和偽球面的形狀和性質（體積有限）相似，但兩者是完全不同的曲面。

參閱

• 雙曲線
• 科赫曲線
• 宇宙的形狀
• 旋轉曲面
• 芝諾悖論