力矩 (moment of force [ 1] ,moment[ 2] )在物理學 中,是作用力 促使物體繞著轉動軸 或支點 轉動的趨向[ 3] ;也就是作用力使物體產生「轉」、「扭」或「彎」效應的量度。簡略地說,力矩是一種施加於例如螺栓 、飛輪 一類的物體,或是擰毛巾、扳鋼筋的扭轉力。例如,用扳手 的開口箝緊螺栓 或螺帽 ,然後轉動扳手,這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。
在一個旋轉系統裏,作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
、位置向量
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
、力矩
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
、動量
p
{\displaystyle \mathbf {p} \,\!}
、角動量
L
{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}
,這些物理量之間的關係。
使機械元件轉動的力矩又稱轉矩 (turning moment[ 4] ,moment of rotation[ 5] )即轉動力矩 ;在材料力學 、土木工程 和建築學 中,作用引起的結構或構件某一截面上的剪力所構成的力偶矩 ,稱為扭矩 [ 6] (torsional moment,torque),而作用引起的結構或構件某一截面上的正應力所構成的力矩,則稱為彎矩 [ 7] (bending moment)。
力矩能夠使物體改變其旋轉運動 。推擠或拖拉涉及到作用力,而扭轉則涉及到力矩。如上圖,力矩
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
等於徑向向量
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
與作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
的叉積 。
根據國際單位制 ,力矩的單位是牛頓
⋅
{\displaystyle \cdot }
米 。本物理量非能量,因此不能以焦耳 (J)作單位;根據英制單位 ,力矩的單位則是英尺
⋅
{\displaystyle \cdot }
磅。力矩的表示符號是希臘字母
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
,或
M
{\displaystyle \mathbf {M} \,\!}
。
力矩與三個物理量有關:施加的作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
、從轉軸到施力點的位移向量
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
、兩個向量之間的夾角
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
。力矩
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
以向量方程式表示為
τ
=
r
×
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}
。
力矩的大小為
τ
=
r
F
sin
θ
{\displaystyle \tau =rF\sin \theta \,\!}
。
用右手定則決定力矩方向
力矩 等於作用於槓桿的作用力 乘以支點 到力的垂直距離 。例如,3 牛頓 的作用力,施加於離支點2 米 處,所產生的力矩,等於1牛頓的作用力,施加於離支點6米處,所產生的力矩。力矩是個向量 。力矩的方向與它所造成的旋轉運動的旋轉軸同方向。力矩的方向可以用右手定則 來決定,也可以用叉乘 計算。假設作用力垂直於槓桿。將右手往槓桿的旋轉方向彎捲,伸直的大拇指與支點的旋轉軸同直線,則大拇指指向力矩的方向[ 8] 。
假設作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
施加於位置為
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
的粒子。選擇原點(以紅點表示)為參考點,只有垂直分量
F
⊥
{\displaystyle F_{\perp }\,\!}
會產生力矩。這力矩
τ
=
r
×
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}
的大小為
τ
=
|
r
|
|
F
⊥
|
=
|
r
|
|
F
|
sin
θ
{\displaystyle \tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} _{\perp }|=|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!}
,方向為垂直於屏幕向外。
更一般地,如圖右,假設作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
施加於位置為
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
的粒子。選擇原點為參考點,力矩
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
以方程式定義為
τ
=
d
e
f
r
×
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}
。
力矩大小為
τ
=
|
r
|
|
F
|
sin
θ
{\displaystyle \tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!}
;
其中,
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
是兩個向量
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
與
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
之間的夾角。
力矩大小也可以表示為
τ
=
r
F
⊥
{\displaystyle \tau =rF_{\perp }\,\!}
;
其中,
F
⊥
{\displaystyle F_{\perp }\,\!}
是作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
對於
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
的垂直分量。
任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。
從叉積的性質,可推論,力矩垂直於位置向量
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
和作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
。力矩的方向與旋轉軸平行,由右手定則決定。
地心重力
F
g
{\displaystyle \mathbf {F_{g}} \,\!}
的力矩造成角動量
L
{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}
的改變。因此,陀螺 呈現進動 現象。
假設一個粒子的位置為
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
,動量為
p
{\displaystyle \mathbf {p} \,\!}
。選擇原點為參考點,此粒子的角動量
L
{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}
為
L
=
r
×
p
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!}
。
粒子的角動量對於時間的導數為
d
L
d
t
=
d
r
d
t
×
p
+
r
×
d
p
d
t
=
v
×
m
v
+
r
×
m
d
v
d
t
=
r
×
m
a
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\\&=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\\&=\mathbf {r} \times m\mathbf {a} \\\end{aligned}}\,\!}
;
其中,
m
{\displaystyle m\,\!}
是質量,
v
{\displaystyle \mathbf {v} \,\!}
是速度,
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
是加速度。
應用牛頓第二定律 ,
F
=
m
a
{\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \,\!}
,可以得到
d
L
d
t
=
r
×
F
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}
。
按照力矩的定義,
τ
=
d
e
f
r
×
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}
,所以,
τ
=
d
L
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!}
。
作用於一物體的力矩,決定了此物體的角動量
L
{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}
對於時間
t
{\displaystyle t\,\!}
的導數。
假設幾個力矩共同作用於物體,則這幾個力矩的淨力矩
τ
n
e
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }\,\!}
共同決定角動量的對於時間的變化:
τ
1
+
⋯
+
τ
n
=
τ
n
e
t
=
d
L
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{1}+\cdots +{\boldsymbol {\tau }}_{n}={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!}
。
關於物體的繞著固定軸的旋轉運動,
L
=
I
ω
{\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}\,\!}
;
其中,
I
{\displaystyle I\,\!}
是物體對於固定軸的轉動慣量 ,
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
是物體的角速度 。
所以,取上述方程式對時間的導數:
τ
n
e
t
=
d
L
d
t
=
d
(
I
ω
)
d
t
=
I
d
ω
d
t
=
I
α
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (I{\boldsymbol {\omega }})}{\mathrm {d} t}}=I{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=I{\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
;
其中,
α
{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
是物體的角加速度 。
假設施加作用力於一物體,使得此物體移動一段距離,則作用力對於此物體做了機械功 。類似地,假設施加力矩於一物體,使得此物體旋轉一段角位移,則力矩對於此物體做了機械功 。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動,以數學方程式表達,
W
=
∫
θ
1
θ
2
τ
d
θ
{\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta \,\!}
;
其中,
W
{\displaystyle W\,\!}
是機械功,
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}\,\!}
、
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}\,\!}
分別是初始角和終結角,
d
θ
{\displaystyle \mathrm {d} \theta \,\!}
是無窮小角位移元素。
根據功能定理 ,
W
{\displaystyle W\,\!}
也代表物體的旋轉動能
K
r
o
t
{\displaystyle K_{\mathrm {rot} }\,\!}
的改變,以方程式表達,
K
r
o
t
=
1
2
I
ω
2
{\displaystyle K_{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2}\,\!}
。
功率 是單位時間內所做的機械功 。對於旋轉運動,功率
P
{\displaystyle P\,\!}
以方程式表達為
P
=
τ
⋅
ω
{\displaystyle P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
。
請注意,力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關,而角速度是否在增加中,或在減小中,或保持不變,功率都與這些狀況無關。
實際上,在與大型輸電網路相連接的發電廠裏,可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定,而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。
在計算功率時,必須使用一致的單位。採用國際單位制,功率的單位是瓦特,力矩的單位是牛頓-米,角速度的單位是每秒弧度 (不是每分鐘轉速 rpm,也不是每秒鐘轉速)。
力矩原理 闡明,幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和,等於這些作用力的淨力所產生的力矩。力矩原理又名伐里農定理 (Varignon's theorem )[ 11] (以法國科學家兼神父皮埃爾·伐里農 命名),以方程式表達,
(
r
×
F
1
)
+
(
r
×
F
2
)
+
⋯
=
r
×
(
F
1
+
F
2
+
⋯
)
{\displaystyle (\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{1})+(\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{2})+\cdots =\mathbf {r} \times (\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots )\,\!}
。
存档副本 . [2023-05-19 ] . (原始內容存檔 於2023-05-19).
Serway, R. A. and Jewett, Jr. J. W. (2003). Physics for Scientists and Engineers . 6th Ed. Brooks Cole. ISBN 978-0-534-40842-8 .
存档副本 . [2023-05-19 ] . (原始內容存檔 於2023-05-19).
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Engineering Mechanics: Equilibrium , by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64