拉東-尼科迪姆定理

拉東-尼科迪姆定理是數學中測度論里的一個結果。拉東-尼科迪姆定理說明了在給定了一個測度空間${\displaystyle (X,\Sigma )}$的時候，如果測度空間${\displaystyle (X,\Sigma )}$上的一個σ-有限測度${\displaystyle \nu }$關於另一個σ-有限測度${\displaystyle \mu }$絕對連續，那麼存在一個在${\displaystyle X}$上可測的函數${\displaystyle f}$，其取值範圍為非負實數（${\displaystyle [0,\infty )}$），並且對所有的可測集合${\displaystyle A}$，都有：

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu }$

這個定理得名於數學家約翰·拉東以及歐頓·尼科迪姆（英語：Otto M. Nikodym）。拉東在1913年證明了這個定理在背景空間為${\displaystyle R^{N}}$時的情況；尼科迪姆則在1930年證明了定理的一般情形^[1]。1936年，漢斯·弗洛伊登薩（英語：Hans Freudenthal）將這個定理推廣，證明了里斯空間理論中的弗洛依登薩譜定理。拉東·尼科迪姆定理是後者的一個特例。

拉東-尼科迪姆導數是 ^[2]

${\displaystyle f={\frac {d\nu }{d\mu }}}$

屬性

Bermudez et al. (2025) ^[3] 標準化了以下屬性的證明。

• ${\displaystyle \lambda }$幾乎處處：$${\displaystyle {\frac {d(\nu +\mu )}{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\lambda }}+{\frac {d\mu }{d\lambda }}.}$$
• 若 ν ≪ μ ≪ λ, 則 ${\displaystyle \lambda }$幾乎處處：$${\displaystyle {\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}.}$$
• 若 μ ≪ ν 以及 ν ≪ μ, 則 ${\displaystyle \nu }$幾乎處處：$${\displaystyle {\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}.}$$
• 若 μ ≪ λ 則 $${\displaystyle \int _{X}g\,d\mu =\int _{X}g{\frac {d\mu }{d\lambda }}\,d\lambda .}$$
• $${\displaystyle {d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|.}$$